12. A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T , pressão P e volume V é PV = mRT , onde R é a constante do gás....

Para resolver essa questão, podemos utilizar a regra da cadeia para derivadas parciais. Começando com a equação PV = mRT, podemos derivar parcialmente em relação a V, T e P: ∂(PV)/∂V = P ∂(PV)/∂T = V(∂P/∂T) + P(∂V/∂T) ∂(PV)/∂P = V Substituindo essas derivadas parciais na equação dada, temos: (∂P/∂V)(∂V/∂T)(∂T/∂P) = -1 Substituindo as derivadas parciais que encontramos anteriormente, temos: P(V(∂P/∂T) + P(∂V/∂T))(1/V) = -1 Simplificando, temos: (∂P/∂T) + P(∂V/∂T)/V = -1/P Que é a equação que mostra que ∂P/∂V ∂V/∂T ∂T/∂P = −1.