A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a ...

Para encontrar a altura do líquido contido na taça, precisamos encontrar o valor de C na função f(x) = x² - 6x + C. Sabemos que o ponto V representa o vértice da parábola, que está localizado sobre o eixo x. O eixo x é o eixo de simetria da parábola, então o valor de x do vértice é dado por x = -b/2a, onde a e b são os coeficientes da função quadrática. No caso da função f(x) = x² - 6x + C, temos a = 1 e b = -6. Substituindo na fórmula do vértice, temos: x = -b/2a = -(-6)/2(1) = 3 Portanto, o vértice da parábola está localizado no ponto (3, f(3)), onde f(3) é o valor da função para x = 3. Substituindo na função, temos: f(3) = 3² - 6(3) + C f(3) = 9 - 18 + C f(3) = -9 + C Sabemos que a altura do líquido contido na taça é dada por C, então precisamos encontrar o valor de C que faz com que a parte interna da taça seja gerada pela rotação da parábola em torno do eixo z. Para isso, precisamos encontrar o volume da taça e igualá-lo ao volume gerado pela rotação da parábola. O volume da taça é dado por: V = π∫[a,b] f(x)² dx Onde a e b são os limites de integração que correspondem aos pontos de interseção da parábola com o eixo x. Como a parábola passa pelo ponto (0, C), temos: C = 0² - 6(0) + C C = C Portanto, o ponto (0, C) é um dos pontos de interseção da parábola com o eixo x. Para encontrar o outro ponto de interseção, precisamos resolver a equação f(x) = 0: x² - 6x + C = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, temos: Δ = (-6)² - 4(1)(C) Δ = 36 - 4C As raízes da equação são dadas por: x = (-(-6) ± √Δ) / 2(1) x = (6 ± √(36 - 4C)) / 2 x = 3 ± √(9 - C) Como a parábola está gerando a parte interna da taça, precisamos considerar apenas a parte da parábola que está acima do eixo x. Portanto, o limite inferior de integração é dado por: a = 3 - √(9 - C) E o limite superior de integração é dado por: b = 3 + √(9 - C) O volume gerado pela rotação da parábola em torno do eixo z é dado por: V = π∫[a,b] f(x)² dx V = π∫[a,b] (x² - 6x + C)² dx Substituindo os limites de integração e resolvendo a integral, temos: V = π[(2C² - 36C + 324)√(9 - C) - (2C² - 36C + 324)√(9 - C)] V = 0 Portanto, o volume gerado pela rotação da parábola em torno do eixo z é zero. Isso significa que a altura do líquido contido na taça é zero, ou seja, a taça está vazia. Portanto, a alternativa correta é a letra A) 1.