Exercício 6.27. Considere a região R delimitada pelo grá�co da função y = senx, pelo eixo x, e pelas duas retas x = �=2, x = �. Calcule a área de R. Em seguida, monte uma integral (não precisa calculá-la) cujo valor dê o volume so sólido obtido girando R: 1) em torno do eixo x, 2) em torno da reta x = �.
Respostas
Ed 
há 2 anos
Para calcular a área da região R, podemos utilizar a integral definida. A área será dada pela integral definida de -π/2 a π/2 da função y = sen(x) em relação a x. Assim, temos: Área de R = ∫(π/2)-π/2 sen(x) dx Para calcular o volume do sólido obtido girando R em torno do eixo x, podemos utilizar o método dos discos. A área de cada disco será dada por πr², onde r é a distância do ponto ao eixo x. Assim, temos: Volume do sólido obtido girando R em torno do eixo x = ∫(π/2)-π/2 πsen²(x) dx Para calcular o volume do sólido obtido girando R em torno da reta x = -1/2, podemos utilizar o método dos discos novamente. A área de cada disco será dada por πr², onde r é a distância do ponto à reta x = -1/2. Assim, temos: Volume do sólido obtido girando R em torno da reta x = -1/2 = ∫(π/2)-π/2 π(1/2 + sen(x))^2 dx
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A
B
C
D
Exercício 1.4. Quais das expressões abaixo são verdadeiras (para qualquer x)? Justi�que. p
x2 = x ;
p
x
2
= x ;
p
x2 = jxj :
Resolva as seguintes inequações.
1. x > 4� 5
2. 3x � x+ 1
3. �8x < 3� 4x
4. 10 > 10� x
5. x2 � 1
6. �x2 > 1 + 2x
7. x > x
8. x � x
9. x � x2
10. �2x2 + 10x� 12 < 0
11. x2(x+ 7) � 0
12. x3 � 2x2 � x+ 2 > 0
13. x2 � x(x+ 3) � 0
14. x � x+3
x�1
Resolvamos a inequação jx� 2j � 3 :
Sabemos que pela de�nição do valor absoluto, jx� 2j = 8<:x� 2 se x � 2 ; �x+ 2 se x < 2 ;
Logo, a resolução de (1.13) passa pela resolução de duas inequações mais simples. A primeira é x� 2 � 3 ; isto é x � 5 ; e deve ser considerada somente para os x tais que x � 2. Isso dá um primeiro conjunto de soluções: S1 = [5;+1) (os reais que são ao mesmo tempo maiores ou iguais a 5 e maiores ou iguais a 2). A segunda é �x+ 2 � 3 ; isto é x � �1 ; e deve ser considerada somente para os x tais que x � 2, o que dá um segundo conjunto de soluções S2 = (�1;�1]. Assim, o conjunto de todas as soluções de (1.13) é dado por S = S1 [ S2: S = (�1;�1] [ [5;+1).
Um jeito mais geométrico (mas equivalente) de resolver o problema é de escrever (1.13) como: d(x; 2) � 3. Assim, podemos interpretar as soluções de (1.13) como sendo os reais x cuja distância ao ponto 2 é maior ou igual a 3, que são todos os reais a esquerda de �1 ou a direita de 5: S = (�1;�1] [ [5;+1).
Estudar o sinal de uma expressão que depende de uma variável x signi�ca determinar os valores de x para os quais a expressão é positiva, negativa, ou nula.
Estude o sinal das seguintes expressões
1. 5 + x
2. 5 + x2
3. (x� 5)2
4. x2 � 5
5. x2+2x�48
2�x
6. (x+ 1)j2x� 1� x2j
Exercício 1.16. Determine quais das seguintes retas são paralelas ou perpendiculares.
r1 : 2x+ y � 1 = 0 ; r2 : x+ 2y + 1 = 0 ; r3 : y = 2x� 3 ; r4 : 3x+ 6y � 3 = 0 :
Em seguida, esboce as retas e veri�que.
Exercício 1.17. Determine quais das equações a seguir de�nem um círculo.
Quando for o caso, calcule o centro e o raio.
1. x2 + (y + 1)2 = 9
2. x2 + y2 = �1
3. x2 + y2 = 6x
4. x2+y2+x+y+1 = 0
5. x2 + y2 + 2x+ 1 = 0
6. x2 = y2 + 1
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