Exercício 6.51. Mostre que a função de�nida por g(t):= 1p 2�t Z 1 �1 e�x2 2t dx ; t > 0 é bem de�nida. Isto é: a integral imprópria converge para q...

Para mostrar que a integral imprópria converge para qualquer valor de t > 0, podemos usar o critério de comparação. Observe que para todo x ∈ [−1, 1], temos: 0 ≤ e^(−x^2/2t) ≤ 1 Logo, integrando ambos os lados da desigualdade em relação a x de −1 a 1, obtemos: 0 ≤ ∫_(−1)^1 e^(−x^2/2t) dx ≤ 2 Portanto, temos: 0 ≤ g(t) ≤ 1/√(2πt) A integral ∫_0^∞ 1/√(t) dt converge, o que implica que a integral ∫_0^∞ 1/√(2πt) dt também converge. Assim, pelo critério de comparação, a integral imprópria que define g(t) converge para qualquer valor de t > 0. Para mostrar que g é constante e que essa constante é 1, podemos derivar g em relação a t. Temos: g'(t) = d/dt [1/√(2πt) ∫_(−1)^1 e^(−x^2/2t) dx] = −1/(2t^(3/2)) ∫_(−1)^1 e^(−x^2/2t) dx + 1/√(2πt) ∫_(−1)^1 (∂/∂t) e^(−x^2/2t) dx = −1/(2t^(3/2)) ∫_(−1)^1 e^(−x^2/2t) dx + 1/√(2πt) ∫_(−1)^1 x^2/(2t^2) e^(−x^2/2t) dx = −1/(2t^(3/2)) g(t) + 1/(2t^(3/2)) g(t) = 0 Portanto, g é constante. Como g(1) = 1 (porque ∫_(−∞)^∞ e^(−x^2/2) dx = √(2π)), temos que g(t) = 1 para todo t > 0.