(x) = 3�x2, no ponto (�; f(�)), � 6= 0. Seja T� o triângulo determinado pela origem e pelos pontos em que r� corta os eixos de coordenada. Determin...

Para determinar a área mínima do triângulo T, precisamos encontrar o valor mínimo da função f(x) = 3x^2. Para isso, podemos derivar a função e igualar a zero para encontrar o ponto crítico: f'(x) = 6x 6x = 0 x = 0 Portanto, o ponto crítico é x = 0. Podemos verificar que este é um ponto de mínimo observando o sinal da segunda derivada: f''(x) = 6 > 0 Agora, precisamos encontrar os pontos em que a reta r(x) = 3x corta os eixos de coordenadas. Quando x = 0, temos y = 0. Para encontrar o ponto em que r(x) corta o eixo y, podemos igualar x a zero: r(0) = 0 Portanto, os pontos em que r(x) corta os eixos de coordenadas são (0,0) e (�/3,0). O triângulo T é formado pelos pontos (0,0), (�/3,0) e (�,f(�)). Substituindo � na função f(x), temos: f(�) = 3(�)^2 = 3�^2 Portanto, a área do triângulo T é dada por: A(�) = (�/2) * f(�) = (�/2) * 3�^2 = (3/2)�^3 Para encontrar o valor de � que minimiza a área de T, podemos derivar a função A(�) e igualar a zero: A'(�) = (9/2)�^2 (9/2)�^2 = 0 � = 0 ou � = 0 No entanto, � = 0 não é uma solução válida, pois a função f(x) não está definida para x = 0. Portanto, a única solução é: � = 0 Portanto, a área mínima do triângulo T é obtida quando � = 0.