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Exemplo 6.18. Considere R sen(x) cos(3x) dx. Integrando duas vezes por partes: Z sen(x) cos(3x)dx = (� cosx) cos 3x� Z (� cosx)(�3 sen 3x)dx = � co...

Exemplo 6.18. Considere R sen(x) cos(3x) dx. Integrando duas vezes por partes: Z sen(x) cos(3x)dx = (� cosx) cos 3x� Z (� cosx)(�3 sen 3x)dx = � cosx cos 3x� 3 Z cosx sen 3x dx = � cosx cos 3x� 3 � senx sen 3x� Z senx(3 cos 3x) dx � = � cosx cos 3x� 3 senx sen 3x+ 9 Z senx cos 3x dx : Assim, a primitiva procurada I(x) = R sen(x) cos(3x) dx é solução da equação I(x) = � cosx cos 3x� 3 senx sen 3x+ 9I(x) : Isolando I(x) obtemos I(x) = 1 8 n cosx cos 3x+ 3 senx sen 3x o . Isto é, Z sen(x) cos(3x) dx = 1 8 n cosx cos 3x+ 3 senx sen 3x o + C :

Essa pergunta também está no material:

Apostila de Limites, derivadas e integrais
248 pág.

Cálculo I Universidade Federal de SergipeUniversidade Federal de Sergipe

Respostas

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O exemplo 6.18 apresenta o cálculo da integral de sen(x)cos(3x) utilizando integração por partes duas vezes. A solução encontrada foi I(x) = 1/8 * cos(x)cos(3x) + 3/8 * sen(x)sen(3x) + C, onde C é a constante de integração. Portanto, a integral de sen(x)cos(3x) é igual a 1/8 * cos(x)cos(3x) + 3/8 * sen(x)sen(3x) + C.

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