todo n ≥ 2. Solução Seja P (n) a proposição: n+H1 + · · ·+Hn−1 = nHn, para todo n ≥ 2. Para n = 2 temos que 2 +H1 = 2 + 1 = 3 = 2 · 3 2 = 2 · (1 + 1 2 ) = 2H2. Suponha agora que P (n) é verdadeira para n = k, ou seja, k +H1 + · · ·+Hk−1 = kHk. Resta provar que P (n) continua válida para n = k + 1. De fato, (k + 1) +H1 + · · ·+Hk−1 +H(k+1)−1 = (k +H1 + · · ·+Hk−1) +Hk + 1 = kHk +Hk + 1 = (k + 1)Hk + 1 = (k + 1) (Hk + 1 k + 1 ) = (k + 1)Hk+1 e assim P (k + 1) é verdadeira. Pauta de correção • Provar para n = 2 [0,25] • Provar para n = k + 1 [0,75]

Question

todo n ≥ 2. Solução Seja P (n) a proposição: n+H1 + · · ·+Hn−1 = nHn, para todo n ≥ 2. Para n = 2 temos que 2 +H1 = 2 + 1 = 3 = 2 · 3 2 = 2 · (...

Ed · Answer

Parece que você está lidando com uma prova por indução matemática para a proposição $ P(n) $:

$$ n + H_1 + H_2 + \ldots + H_{n-1} = nH_n $$

onde $ H_n $ é o n-ésimo número harmônico. Vamos resumir os passos da prova:

1. **Base da indução**: Para $ n = 2 $:
   $$
   2 + H_1 = 2 + 1 = 3
   $$
   E também:
   $$
   2H_2 = 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3
   $$
   Portanto, $ P(2) $ é verdadeira.

2. **Hipótese de indução**: Suponha que $ P(k) $ é verdadeira, ou seja:
   $$
   k + H_1 + H_2 + \ldots + H_{k-1} = kH_k
   $$

3. **Passo da indução**: Precisamos provar que $ P(k + 1) $ é verdadeira:
   $$
   (k + 1) + H_1 + H_2 + \ldots + H_{k-1} + H_k
   $$
   Usando a hipótese de indução:
   $$
   = (k + H_1 + H_2 + \ldots + H_{k-1}) + H_k + 1
   $$
   $$
   = kH_k + H_k + 1
   $$
   $$
   = (k + 1)H_k + 1
   $$
   Agora, sabemos que:
   $$
   H_{k+1} = H_k + \frac{1}{k + 1}
   $$
   Portanto:
   $$
   (k + 1)H_{k+1} = (k + 1)\left(H_k + \frac{1}{k + 1}\right) = (k + 1)H_k + 1
   $$

Assim, $ P(k + 1) $ é verdadeira. Portanto, por indução matemática, a proposição $ P(n) $ é verdadeira para todo $ n \geq 2 $.

Ed · Answer

A proposição P(n) é definida como n+H1 + · · ·+Hn−1 = nHn, para todo n ≥ 2. A prova por indução matemática é utilizada para demonstrar que P(n) é verdadeira para todo n ≥ 2.

A prova começa mostrando que P(2) é verdadeira, o que é feito ao substituir n = 2 na proposição e verificar que a igualdade é satisfeita.

Em seguida, assume-se que P(k) é verdadeira para um certo valor de k ≥ 2 e demonstra-se que P(k+1) também é verdadeira. Isso é feito ao substituir n = k+1 na proposição e utilizar a hipótese de indução para reescrever a expressão k+H1+...+Hk-1 como kHk. Em seguida, manipula-se a expressão para obter (k+1)Hk+1, que é exatamente o lado direito da igualdade em P(k+1). Portanto, P(k+1) é verdadeira.

Assim, como P(2) é verdadeira e P(k+1) é verdadeira sempre que P(k) é verdadeira, conclui-se que P(n) é verdadeira para todo n ≥ 2.

Geometria

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