todo n ≥ 2. Solução Seja P (n) a proposição: n+H1 + · · ·+Hn−1 = nHn, para todo n ≥ 2. Para n = 2 temos que 2 +H1 = 2 + 1 = 3 = 2 · 3 2 = 2 · (...

A proposição P(n) é definida como n+H1 + · · ·+Hn−1 = nHn, para todo n ≥ 2. A prova por indução matemática é utilizada para demonstrar que P(n) é verdadeira para todo n ≥ 2. A prova começa mostrando que P(2) é verdadeira, o que é feito ao substituir n = 2 na proposição e verificar que a igualdade é satisfeita. Em seguida, assume-se que P(k) é verdadeira para um certo valor de k ≥ 2 e demonstra-se que P(k+1) também é verdadeira. Isso é feito ao substituir n = k+1 na proposição e utilizar a hipótese de indução para reescrever a expressão k+H1+...+Hk-1 como kHk. Em seguida, manipula-se a expressão para obter (k+1)Hk+1, que é exatamente o lado direito da igualdade em P(k+1). Portanto, P(k+1) é verdadeira. Assim, como P(2) é verdadeira e P(k+1) é verdadeira sempre que P(k) é verdadeira, conclui-se que P(n) é verdadeira para todo n ≥ 2.