6. [0,5 ponto] Quais são as coordenadas do vetor (√ 18, √ 18 ) ∈ R2 em relação a base {(√ 2, 0), (0,√ 3)} ?

Para encontrar as coordenadas do vetor em relação à base dada, podemos utilizar a matriz de mudança de base. Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas dos vetores da base em relação à base canônica: (√2, 0) = (1, 0)√2 + (0, 1)0 = (√2, 0) (0, √3) = (1, 0)0 + (0, 1)√3 = (0, √3) A matriz de mudança de base é formada pelos vetores da base dada em relação à base canônica: M = [√2 0; 0 √3] Para encontrar as coordenadas do vetor em relação à base dada, basta multiplicar a matriz de mudança de base pelo vetor: M * (√18, √18) = (√2, √3) * (x, y) Resolvendo o sistema, encontramos: x = 3 y = 2 Portanto, as coordenadas do vetor (√18, √18) em relação à base {(√2, 0), (0, √3)} são (3, 2).