Para determinar a taxa de variação do volume do cone em relação ao tempo, precisamos usar a fórmula do volume do cone e aplicar a regra da cadeia. A fórmula do volume \( V \) de um cone é dada por: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] onde \( r \) é o raio e \( h \) é a altura. Neste caso, a altura \( h \) é constante e igual a 50 cm. Dado que \( r = 10 \ln x \), podemos substituir \( r \) na fórmula do volume: \[ V = \frac{1}{3} \pi (10 \ln x)^2 (50) \] Simplificando, temos: \[ V = \frac{500}{3} \pi (10 \ln x)^2 \] Agora, precisamos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, \( \frac{dV}{dt} \). Para isso, aplicamos a regra da cadeia: \[ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} \] Primeiro, vamos calcular \( \frac{dV}{dx} \): \[ \frac{dV}{dx} = \frac{500}{3} \pi \cdot 2(10 \ln x) \cdot \frac{d}{dx}(10 \ln x) \] Calculando \( \frac{d}{dx}(10 \ln x) \): \[ \frac{d}{dx}(10 \ln x) = \frac{10}{x} \] Portanto, \[ \frac{dV}{dx} = \frac{500}{3} \pi \cdot 2(10 \ln x) \cdot \frac{10}{x} = \frac{10000}{3} \pi \cdot \frac{\ln x}{x} \] Agora, substituímos \( x = e \): \[ \ln e = 1 \quad \text{e} \quad x = e \Rightarrow \frac{dV}{dx} = \frac{10000}{3} \pi \cdot \frac{1}{e} \] Agora, sabemos que \( \frac{dx}{dt} = 3e \) cm/s. Portanto, substituindo tudo na fórmula da taxa de variação do volume: \[ \frac{dV}{dt} = \frac{10000}{3} \pi \cdot \frac{1}{e} \cdot 3e \] Os \( e \) se cancelam: \[ \frac{dV}{dt} = \frac{10000}{3} \pi \cdot 3 = 10000 \pi \] Assim, a taxa de variação do volume do cone por segundo, quando \( x = e \) cm, é: \[ \frac{dV}{dt} = 10000 \pi \, \text{cm}^3/\text{s} \]