Para resolver el problema de valor inicial dado por la ecuación diferencial \(4y'' - 8y' + 3y = 0\) con las condiciones iniciales \(y(0) = 2\) y \(y'(0) = 1\), primero encontramos la solución general de la ecuación. 1. **Encontrar la ecuación característica**: \[ 4r^2 - 8r + 3 = 0 \] 2. **Resolver la ecuación cuadrática**: Usamos la fórmula cuadrática: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8} \] Esto nos da las raíces: \[ r_1 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quad r_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] 3. **Escribir la solución general**: La solución general es: \[ y(t) = C_1 e^{\frac{3}{2}t} + C_2 e^{\frac{1}{2}t} \] 4. **Aplicar las condiciones iniciales**: - Para \(y(0) = 2\): \[ C_1 + C_2 = 2 \] - Para \(y'(t)\): \[ y'(t) = \frac{3}{2}C_1 e^{\frac{3}{2}t} + \frac{1}{2}C_2 e^{\frac{1}{2}t} \] Evaluando en \(t = 0\): \[ \frac{3}{2}C_1 + \frac{1}{2}C_2 = 1 \] 5. **Resolver el sistema de ecuaciones**: - De \(C_1 + C_2 = 2\), podemos despejar \(C_2 = 2 - C_1\). - Sustituyendo en la segunda ecuación: \[ \frac{3}{2}C_1 + \frac{1}{2}(2 - C_1) = 1 \] Simplificando: \[ \frac{3}{2}C_1 + 1 - \frac{1}{2}C_1 = 1 \implies \frac{2}{2}C_1 = 0 \implies C_1 = 0 \] - Entonces, \(C_2 = 2\). 6. **Sustituyendo los valores**: La solución particular es: \[ y(t) = 2 e^{\frac{1}{2}t} \] Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es: \[ y(t) = 2 e^{\frac{1}{2}t} \]

A equação característica associada à equação diferencial é r^2 - 2r + 3 = 0. As raízes são r1 = 1 e r2 = 2. Portanto, a solução geral da equação diferencial é y(t) = c1*e^t + c2*e^(2t), onde c1 e c2 são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Derivando y(t), temos y'(t) = c1*e^t + 2*c2*e^(2t). Substituindo as condições iniciais, temos: y(0) = c1 + c2 = 2 y'(0) = c1 + 2*c2 = 1/2 Resolvendo o sistema de equações, encontramos c1 = 5/2 e c2 = -1/2. Portanto, a solução do problema de valor inicial é: y(t) = (5/2)*e^t - (1/2)*e^(2t) Assim, a alternativa correta é: E) y = (5/2)*e^t - (1/2)*e^(2t)