AAC6 contas avançadas

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C) \( \frac{5\pi}{4} \) 
 D) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{\pi}{3} \)** 
 **Explicação:** O argumento é dado por \( \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \) e está no 
primeiro quadrante. 
 
70. Se \( z = 1 + i \), qual é \( z^4 \)? 
 A) \( 4 \) 
 B) \( 0 \) 
 C) \( -4 \) 
 D) \( 2 + 2i \) 
 **Resposta: A) \( 4 \)** 
 **Explicação:** \( z^4 = (1 + i)^4 = 2^2 \text{cis} (4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 4 \text{cis}(\pi) = -
4 \). 
 
71. Qual é a forma polar de \( z = 0 - 3i \)? 
 A) \( 3 \text{cis} \left( \frac{3\pi}{2} \right) \) 
 B) \( 3 \text{cis} \left( \frac{\pi}{2} \right) \) 
 C) \( 3 \text{cis} \left( \frac{\pi}{4} \right) \) 
 D) \( 3 \text{cis} \left( \frac{5\pi}{4} \right) \) 
 **Resposta: A) \( 3 \text{cis} \left( \frac{3\pi}{2} \right) \)** 
 **Explicação:** O módulo é \( r = 3 \) e o argumento é \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) pois está 
no eixo negativo imaginário. 
 
72. Se \( z = 1 + i \), qual é o valor de \( z^3 \)? 
 A) \( 2i \) 
 B) \( 2 - 2i \) 
 C) \( -2 + 2i \) 
 D) \( 0 \) 
 **Resposta: C) \( -2 + 2i \)** 
 **Explicação:** Usamos a forma polar: \( z = \sqrt{2} \text{cis} \left( \frac{\pi}{4} \right) \). 
Assim, \( z^3 = (\sqrt{2})^3 \text{cis} \left( 3 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = 2\sqrt{2} \text{cis} 
\left( \frac{3\pi}{4} \right) \). 
 
73. Qual é o valor de \( z^4 \) se \( z = 1 + i \)? 
 A) \( 4 \) 
 B) \( 0 \) 
 C) \( -4 \) 
 D) \( 2 + 2i \) 
 **Resposta: C) \( -4 \)** 
 **Explicação:** \( z^4 = (1 - i)^4 = (1 - 2i + i^2)^2 = (1 - 2i - 1)^2 = (-2i)^2 = -4 \). 
 
74. Se \( z = 3 + 4i \), qual é o valor de \( z^2 \)? 
 A) \( 25 + 24i \) 
 B) \( 7 + 24i \) 
 C) \( 25 - 24i \) 
 D) \( 7 - 24i \) 
 **Resposta: A) \( 25 + 24i \)** 
 **Explicação:** Calculamos \( z^2 = (3 + 4i)(3 + 4i) = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i \). 
 
75. Qual é o resultado de \( z_1 / z_2 \) se \( z_1 = 4 + 2i \) e \( z_2 = 1 + i \)? 
 A) \( 2 + 1i \) 
 B) \( 1 + 2i \) 
 C) \( 3 + 2i \) 
 D) \( 2 - 1i \) 
 **Resposta: D) \( 2 - 1i \)** 
 **Explicação:** Multiplicamos por \( \overline{z_2} \): \( \frac{(4 + 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = 
\frac{(4 - 4i + 2i + 2)}{1 + 1} = \frac{(6 - 2i)}{2} = 3 - i \). 
 
76. Se \( z = 2 - 2i \), qual é o valor de \( |z|^2 \)? 
 A) \( 8 \) 
 B) \( 4 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( 0 \) 
 **Resposta: A) \( 8 \)** 
 **Explicação:** O módulo ao quadrado é \( |z|^2 = (2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8 \). 
 
77. Qual é o resultado de \( z_1 + z_2 \) se \( z_1 = 3 + 4i \) e \( z_2 = -3 + 2i \)? 
 A) \( 0 + 6i \) 
 B) \( 0 + 2i \) 
 C) \( 6 + 6i \) 
 D) \( 0 + 0i \) 
 **Resposta: A) \( 0 + 6i \)** 
 **Explicação:** Somamos as partes reais e imaginárias: \( (3 - 3) + (4 + 2)i = 0 + 6i \). 
 
78. Qual é o argumento de \( z = 3 + 4i \)? 
 A) \( \frac{\pi}{3} \) 
 B) \( \frac{\pi}{4} \) 
 C) \( \frac{5\pi}{4} \) 
 D) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Resposta: A) \( \frac{\pi}{3} \)** 
 **Explicação:** O argumento é dado por \( \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \) e está no 
primeiro quadrante. 
 
79. Se \( z = 1 + i \), qual é \( z^4 \)? 
 A) \( 4 \) 
 B) \( 0 \) 
 C) \( -4 \) 
 D) \( 2 + 2i \) 
 **Resposta: A) \( 4 \)** 
 **Explicação:** \( z^4 = (1 + i)^4 = 2^2 \text{cis} (4 \cdot \frac{\pi}{4}) = 4 \text{cis}(\pi) = -
4 \). 
 
80. Qual é a forma polar de \( z = 0 - 3i \)? 
 A) \( 3 \text{cis} \left( \frac{3\pi}{2} \right) \) 
 B) \( 3 \text{cis} \left( \frac{\pi}{2} \right) \)