2ª Questão (2,0 pontos) a) Sendo ( ) 2 2 0 1 ( ) 1 g x t f x dt t    , com sen 8 7 0 ( ) 1 cos (1 ) x g x t dt     , calcule '...

a) Para calcular a derivada de f(x), precisamos primeiro encontrar a função f(x). Usando a definição dada, temos: ( ) 2 2 0 1 ( ) 1 g x t f x dt t    Substituindo g(x,t) pela sua definição, temos: ( ) 2 2 0 1 ( ) 1 sin 8 7 0 ( ) 1 cos (1 ) x t f x dt t      Integrando em relação a t, temos: ( ) 2 2 0 1 ( ) 1 sin 8 7 0 ( ) 1 cos (1 ) x f x t      Agora podemos derivar em relação a x: ( ) 2 2 0 1 ( ) 1 sin 8 7 0 ( ) 1 sin (1 ) x f x      ' Substituindo x por π, temos: ( ) 2 2 0 1 ( ) 1 sin 8 7 0 ( ) 1 sin (1 ) π f π      ' b) Para calcular a derivada de H(x), precisamos primeiro encontrar a função H(x). Usando a definição dada, temos: 4 5 cos 1 ( ) 2 x x H x dt t   Integrando em relação a t, temos: 4 5 cos 1 ( ) 2 x x H x t   t + C Onde C é a constante de integração. Para encontrá-la, podemos usar a condição H(0) = 0: 4 5 cos 1 ( ) 2 0 0 H 0 dt t   4 5 cos 1 ( ) 2 0 0 H 0   C C = -4/5 Substituindo C na equação original, temos: 4 5 cos 1 ( ) 2 x x H x t   t  4/5 Agora podemos derivar em relação a x: 4 5 cos 1 ( ) 2 x H x t   t ' Substituindo x por π, temos: 4 5 cos 1 ( ) 2 π H π t   t '