5ª Questão (2,0 pontos) Considere a função contínua 1 ,4 2 :f       dada por 1 2cos( ), 1 2 3 1 4 ( ) x se x x se x f x      ...

(a) Para calcular a integral 4 1/2 ( )f x dx  , precisamos dividir a integral em duas partes, uma de 1/2 a 2 e outra de 2 a 4. Na primeira parte, temos: 4 ∫ 1/2 f(x) dx = ∫1/2^2cos(x) dx = [2sin(x)]1/2^2 = 2sin(2) - 2sin(1/2) Na segunda parte, temos: 4 ∫ 2 f(x) dx = ∫2^3x dx = [x^2/4]2^4 = 4 Portanto, a integral 4 1/2 ( )f x dx   é igual a 4 - 2sin(2) + 2sin(1/2). (b) O resultado anterior representa a área da região limitada pelo gráfico da função f e pelo eixo x, entre x = 1/2 e x = 4. A interpretação em termos de áreas é que a integral calculada é a diferença entre a área da região acima do eixo x e abaixo da curva f, entre x = 1/2 e x = 4, e a área da região abaixo do eixo x e acima da curva f, entre x = 1/2 e x = 2. Para calcular a área total da região limitada pelo gráfico da função f, pelo eixo x e as retas 1/2 x = - e 4x =, precisamos dividir a região em duas partes, uma de 1/2 a 2 e outra de 2 a 4. Na primeira parte, a área é dada por: ∫1/2^2cos(x) dx + 1/2 = [2sin(x)]1/2^2 + 1/2 = 2sin(2) - 2sin(1/2) + 1/2 Na segunda parte, a área é dada por: ∫2^3x dx = [x^2/4]2^4 - 1/2 = 15/4 Portanto, a área total da região é igual a 2sin(2) - 2sin(1/2) + 1/2 + 15/4.