Exemplo 04: Observe a tabela abaixo que exibe um conjunto de dados resultante de uma pesquisa com o intuito de verificar a frequência das idades do...

a) A média, moda e mediana: - Média: Para calcular a média, somamos todas as idades e dividimos pelo número total de adolescentes. (14x1 + 15x2 + 16x3 + 17x4 + 18x2 + 19x1) / (1+2+3+4+2+1) = 16,25 anos - Moda: A moda é o valor que mais se repete na distribuição. Nesse caso, a moda é 17 anos, pois é a idade que aparece com maior frequência. - Mediana: A mediana é o valor que divide a distribuição em duas partes iguais. Para encontrá-la, precisamos ordenar as idades em ordem crescente: 14, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19. Como temos um número par de observações, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais, que são 16 e 17. Portanto, a mediana é (16+17)/2 = 16,5 anos. b) O 4° Quartil, o 5° Decil e o 60° Percentil: - 4° Quartil: O 4° quartil divide a distribuição em 4 partes iguais. Para encontrá-lo, podemos usar a fórmula Q3 = 3(n+1)/4, onde n é o número total de observações. Nesse caso, temos n=13, então Q3 = 3(13+1)/4 = 10.5. Como o valor 10.5 não corresponde a uma idade inteira, podemos interpolar entre as idades 17 e 18, que são os valores que ficam ao redor de Q3. Assim, temos Q3 = 17,5 anos. - 5° Decil: O 5° decil divide a distribuição em 5 partes iguais. Para encontrá-lo, podemos usar a fórmula D5 = 5(n+1)/10, onde n é o número total de observações. Nesse caso, temos n=13, então D5 = 5(13+1)/10 = 6. Como o valor 6 corresponde a uma idade inteira, podemos ver que o 5° decil é a idade de número 6 na distribuição, que é 16 anos. - 60° Percentil: O 60° percentil divide a distribuição em 100 partes iguais. Para encontrá-lo, podemos usar a fórmula P60 = 60(n+1)/100, onde n é o número total de observações. Nesse caso, temos n=13, então P60 = 60(13+1)/100 = 7,8. Como o valor 7,8 não corresponde a uma idade inteira, podemos interpolar entre as idades 17 e 18, que são os valores que ficam ao redor de P60. Assim, temos P60 = 17,4 anos. c) A amplitude total, o desvio quartil e o desvio padrão: - Amplitude total: A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor da distribuição. Nesse caso, a amplitude total é 19-14 = 5 anos. - Desvio quartil: O desvio quartil é a metade da diferença entre o terceiro e o primeiro quartil. Nesse caso, temos Q1 = 15 anos e Q3 = 17,5 anos. Assim, o desvio quartil é (Q3-Q1)/2 = (17,5-15)/2 = 1,25 anos. - Desvio padrão: O desvio padrão é uma medida de dispersão que indica o quanto os valores da distribuição se afastam da média. Para calculá-lo, precisamos primeiro calcular a variância, que é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média. Assim, temos: ((14-16,25)²x1 + (15-16,25)²x2 + (16-16,25)²x3 + (17-16,25)²x4 + (18-16,25)²x2 + (19-16,25)²x1) / (1+2+3+4+2+1) = 2,1875 Portanto, a variância é 2,1875 anos². O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja, sqrt(2,1875) = 1,48 anos.