1.83 Considere o triângulo de vértices A (3, 2, 1) , B (3, 2, 2) e C (3, 3, 2). Determine: (a) Os ângulos do ∆ABC; (b) O vetor projeção do menor la...

(a) Para encontrar os ângulos do triângulo ABC, podemos usar a lei dos cossenos. Primeiro, precisamos encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. Podemos usar a fórmula de distância entre dois pontos para isso. Assim, temos: AB = sqrt((3-3)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2) = 1 AC = sqrt((3-3)^2 + (3-2)^2 + (2-1)^2) = sqrt(2) BC = sqrt((3-3)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2) = 1 Agora, podemos usar a lei dos cossenos para encontrar os ângulos. Temos: cos(A) = (BC^2 + AB^2 - AC^2) / (2 * BC * AB) = 0 cos(B) = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * AC * AB) = 1/2 cos(C) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC) = 1/2 Portanto, os ângulos do triângulo ABC são: A = 90°, B = 60° e C = 30°. (b) Para encontrar o vetor projeção do menor lado sobre o maior lado, podemos usar a fórmula de projeção vetorial. O menor lado é AB e o maior lado é AC. Assim, temos: proj_AB em AC = ((AB . AC) / (AC . AC)) * AC onde . representa o produto escalar de vetores. AB . AC = (0 * 1) + (0 * 1) + (1 * 2) = 2 AC . AC = (0 * 0) + (1 * 1) + (1 * 1) = 2 Portanto, proj_AB em AC = (2/2) * (1, 1, 1) = (1, 1, 1). (c) Para encontrar a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula de área de um triângulo em coordenadas cartesianas. Temos: area_ABC = 1/2 * |(B - A) x (C - A)| (B - A) = (0, 0, 1) (C - A) = (0, 1, 1) (B - A) x (C - A) = (-1, 0, 0) |(-1, 0, 0)| = 1 Portanto, area_ABC = 1/2 * 1 = 1/2. (d) Para encontrar a altura do triângulo relativa ao maior lado, podemos usar a fórmula de área de um triângulo. Temos: area_ABC = (AC * altura) / 2 Substituindo os valores encontrados anteriormente, temos: 1/2 = (sqrt(2) * altura) / 2 altura = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2.