CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (13)

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1.1 Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
( )
−−→
AB =
−−→
CD⇐⇒ A = C e B = D;
( ) Se AB ∼ CD, então AC ∼ BD e os vetores −→AC e −−→BD são iguais;
( ) Se a e b são LD, então a e b têm representantes colineares;
( ) Se a = 0, então os vetores a, b e c são coplanares;
( ) Se os pontos A, B e C não estão alinhados, então os vetores
−→
OA,
−−→
OB e
−−→
OC são LI;
( ) Dois segmentos orientados colineares e de mesmo comprimento são eqüipolentes;
( ) Se AB ∼ CD, então BA ∼ DC;
( ) Os segmentos orientados AA e BB são eqüipolentes;
( ) Se AB ∼ CD, então o quadrilátero de vértices A,B,C e D é um quadrado;
( ) Vetores determinados por segmentos orientados eqüipolentes são iguais;
( ) Dois pontos do espaço representam o mesmo vetor;
( ) Três pontos não colineares determinam dois vetores LI;
( ) Quatro pontos do espaço não podem ser coplanares;
( ) Dois vetores LI são sempre coplanares;
( ) Três vetores LD são sempre coplanares;
( ) Se A, B e C não estão alinhados e
−−→
AD =
−−→
BC, então A, B, C e D são vértices de um
paralelogramo;
( ) Três vetores LD são sempre colineares.
1.2 Enumere a 2a coluna de acordo com a 1a
(1) 2 vetores LD ( ) conjunto de 3 vetores LI
(2) combinação linear ( ) colineares
(3) base ( ) base canônica do R3
(4) 3 vetores LI ( ) xa+ yb+ zc
(5) 2 vetores LI ( ) coplanares
(6) 3 vetores LD ( ) coplanares não colineares
(7)
n
i, j, k
o
( ) não coplanares
1.3 Sejam AD, BE e CF as medianas de um triângulo ABC. Mostre que
−−→
AD+
−−→
BE +
−−→
CF = 0.
1.4 No paralelogramo da figura 1.1, M é o ponto médio do lado DC. Complete as sentenças:
(a)
−−→
AD +
−−→
AB = .......................
(b)
−−→
BA+
−−→
DA = .......................
(c)
−→
AC −−−→BC = .......................
(d)
−−→
BM − 12
−−→
AB = .................... Fig. 1.1
1.5 Na figura 1.2 abaixo os vetores
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD estão no mesmo plano.
Construir, graficamente, com origem em A, o vetor v tal que:
v +
−−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD = 0
Fig. 1.2
1.6 Na figura 1.3 ao lado, tem-se:
−−→
MA+
−−→
MD = 0 e
−−→
NB +
−−→
NC = 0.
Escrever o vetor
−−→
AB +
−−→
DC em função do vetor
−−→
MN .
Fig. 1.3
1.7 Mostre que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
1.8 Mostre que os pontos médios dos lados de um quadrilátero são vértices de um paralelogramo.
1.9 Mostre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é
paralelo às bases e tem comprimento igual a sua semi-soma.
As figuras abaixo serão utilizadas nos Exercícios 1.10, 1.11 e 1.12.
Fig. 1.4 Fig. 1.5 Fig. 1.6
1.10 Na figura 1.4 tem-se |DB| = 2 |AD|. Expresse o vetor −−→CD como uma combinação linear
dos vetores
−→
AC e
−−→
BC.
2
1.11 A figura 1.5 representa um paralelepípedo (caixa retangular). Expresse a diagonal
−−→
OD
como uma combinação linear das arestas
−→
OA,
−−→
OB e
−−→
OC.
1.12 No tetraedro da figura 1.6, D é o ponto médio de BC. Expresse o vetor
−−→
AD como uma
combinação linear das arestas
−→
OA,
−−→
OB e
−−→
OC.
1.13 Mostre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo
ao terceiro lado e tem a metade do comprimento deste.
1.14 Demonstre que o baricentro (o ponto de encontro das medianas) de um triângulo divide as
medianas na razão de 2 para 1.
1.15 Se O é o baricentro de um triângulo de vértices A, B e C, mostre que
−→
OA+
−−→
OB+
−−→
OC = 0.
1.16 Se o ponto A divide o segmento PQ na razão de n para m e O é um ponto qualquer do
espaço, mostre que:
−→
OA =
m
m+ n
−−→
OP +
n
m+ n
−−→
OQ.
1.17 Se a e b são vetores LI, mostre que 2a+ 3b e a− 6b também são LI.
1.18 Se
n
a,b,c
o
é uma base do espaço, mostre que {a+b, 2a− 3b− c,b+ 2c} também o é.
1.19 Mostre que a,b, e c são LI se, e somente se, a equação vetorial xa + yb + zc = 0 admite
apenas a solução nula x = 0, y = 0 e z = 0.
1.20 Sejam a e b dois vetores LI. Como devem ser os escalares x e y para que o vetor xa + yb
seja paralelo ao vetor a, mas de sentido contrário?
1.21 Dados os vetores a = 2i−j + 5k, b = −i−j, c = −2i+ 3k e d = 6i− 2j + 10k, calcule:
(a) 14a (b) 3
b− 5a+ c (c) −d+ 12a (d) b− a
1.22 Dado u = 2i − j + k, determine um vetor v colinear com u, de sentido contrário, e cujo
comprimento seja o triplo do comprimento do vetor u. Represente graficamente u e v.
1.23 Localize no sistema de coordenadas os pontos: A (2, 3, 4) , B (−2, 1, 1) e C (−2,−1,−2) .
1.24 Represente graficamente os vetores a =i+j, b = −3i+j+2k, c = 2i−j−4k e d = j−2k.
1.25 Calcule
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
BC, sendo A (2, 3, 4) , B (−2, 1, 1) e C (−2,−1,−2) .
1.26 Considere o ponto A (1, 2, 3) e o vetor v = 3i+ 4j + 5k. Determine B tal que
−−→
AB = v.
3
1.27 Determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ, sabendo que P (2, 1, 5) e
Q (4, 3, 1) . Qual a distância do ponto P ao ponto Q?
1.28 Dados os vetores u = 3i−j+2k e v = 2i+4j− 2k, determine o vetor w tal que 3w+2u =
1
2v + w.
1.29 Dados os pontos A (1,−2, 3) , B (5, 2, 5) e C (−4, 2, 9), determine o ponto D de modo que
A, B, C e D sejam vértices de um paralelogramo.
1.30 SejamA, B, C e D os vértices de um paralelogramo e G o ponto de encontro das diagonais.
Sabendo que A (2,−1,−5) , B (−1, 3, 2) e G (4,−1, 7), determine os vértices C e D.
1.31 Em cada caso verifique se vetores são LD ou LI.
(a) u =i+ 2k, v = 2i+j, w = 3i+j + 5k (b) u = −14i+ 91j + 56k, v = 2i− 13j − 8k
(c) u =i+j, v = 3i+ 12j + k (d) u = 3i+j + 2k, v =i+j + k, w = 2i+ k
1.32 Determine m de modo que os vetores u = mi −j + k, v = −3i +mj + k e w = i +j + k
sejam coplanares.
1.33 Determine o valor de m de modo que os vetores u = mi+ 2j + k, v = 8i+mj + 2k sejam
colineares.
1.34 Verifique se os pontos A (1,−1, 2) , B (0, 1, 1) e C (2,−1, 3) estão alinhados.
1.35 Determine y e z de modo que os pontos A (1, 2, 1) , B (1, 0, 0) e C (1, y, z) sejam colineares.
1.36 Em cada caso verifique se os pontos A, B, C e D são coplanares.
(a) A (1, 1, 1) , B (−2,−1,−3) , C (0, 2,−2) e D (−1, 0,−2)
(b) A (1, 0, 2) , B (−1, 0, 3) , C (2, 4, 1) e D (−1,−2, 2)
1.37 Verifique se os vetores u = −3i+2j−k, v =i−3j+5k e w = 2i+j−4k podem representar
os lados de um triângulo.
1.38 Verifique se os pontos A (1, 1, 0) , B (3, 1, 0) , e C (1, 3, 0) podem ser vértices de um triângulo.
1.39 Verifique que os vetores a =i+j− 3k,b = 2i+j+3k e c = −3i+9j−k formam uma base
do R3 e determine as coordenadas do vetor v =i+j + k nessa base. A base é positiva ou negativa?
1.40 Sejam a, b e c vetores LI e considere u = 2a +b − c e v = −a +b + 2c. Escreva o vetor
w = 9a+ 15b+ 6c como combinação linear de u e v.
4
1.41 Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
( ) Se a e b são paralelos, então aׁb = 0;
( ) Se aׁb = 0, então a ou b é igual a 0;
( ) Se a e b são perpendiculares, então a ·b = 0;
( ) Se a ·b = 0, então a ou b é igual a 0;
( ) Existem vetores não nulos a e b tais que aׁb = 0 e a ·b = 0;
( ) Se {a,b,c} é uma base ortonormal, então c = aׁb;
( ) Se α é o plano gerado por a e b e β é o plano gerado por c e d, então α e β são paralelos
se, e somente se, (aׁb)× (c× d) = 0;
( ) Os vetores a, b e c são coplanares se, e somente se, [a,b,c] = 0;
( ) Se {a,b,c} é uma base ortonormal, então [a,b,c] = ±1;
( ) Sempre que a e b forem colineares, ter-se-á ||a+b|| = kak+ ||b||;
( ) Se a e b são vetores unitários, então a+b tem a direção da bissetrizdo ângulo (a,b);
( ) Se a e b são vetores do espaço, então ||a±b||2 = kak2 ± 2a ·b+ ||b||2.
( ) Três vetores ortogonais são sempre LI;
( ) Se kak = 1, então o vetor Projab tem comprimento |a ·b|;
( ) Se {u,v, w} é uma base positiva, então {u, w,v} também o é;
( ) O conjunto {u,v,v} é uma base apenas quando u e v forem LI.
( ) Se {u,v, w} é uma base ortonormal e a é um vetor, então kak2 = (a ·u)2+(a ·v)2+(a · w)2.
1.42 Mostre que as diagonais de um losango são ortogonais.
1.43 Sejam
−−→
AB e
−→
AC vetores não nulos e ortogonais. Mostre que
°°°−−→AB°°°2 + °°°−→AC°°°2 = °°°−−→BC°°°2 .
Note que este resultado é o famoso Teorema de Pitágoras.
1.44 Sejam a e b dois vetores, sendo a 6= 0. Mostre que o vetor v = b− (a ·
b)a
kak2 é perpendicular
ao vetor a.
1.45 Demonstre as seguintes propriedades da norma.
(a) kak ≥ 0 (b) kxak = |x| kak (c) ||a+b|| ≤ kak+ ||b|| (c)
¯¯¯
kak− ||b||
¯¯¯
≤ ||a−b|| .
1.46 Descreva a construção de uma base ortonormal positiva {a,b,c}, a partir de um vetor não
nulo a.
5
1.47 Demonstre as seguintes identidades:
(a) Polarização: a ·b = 14
h
||a+b||2 − ||a−b||2
i
(b) Paralelogramo: ||a+b||2 + ||a−b||2 = 2
h
kak2 + ||b||2
i
1.48 Sejam a, b e c três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é 60o.
Sabendo que kak = 3, ||b|| = 2 e kck = 6, calcule ||a+b+ c||.
1.49 Se ||a|| = 11, ||b|| = 23 e ||a−b|| = 30, calcule ||a+b||.
1.50 Os vetores a e b são perpendiculares entre si e o vetor c é tal que (c,a) = 60o e (c,b) = 60o.
Sabendo-se que kak = 3, ||b|| = 5 e kck = 8, calcule o produto interno: (3a− 2b) · (b+ 3c).
1.51 Determine a projeção ortogonal do vetor a = 2i− 3j + k sobre o vetor b = −i+ 2j + 2k.
1.52 Calcule o ângulo entre os vetores a = 2i+j − 2k e b = 3i+ 3j.
1.53 Determine um vetor unitário u, paralelo ao vetor 2a−b, sendo a =i−2j+4k eb = 2i−j+3k.
1.54 Calcule kuk e ku+ vk, sabendo que u · v = 6, kvk = 3√2 e (u,v) = π/4 rd.
1.55 Determine o valor de x, de modo que (xi+ 3j + k) · (2i+j) = 3.
1.56 Encontre um vetor unitário u na direção da bissetriz do ângulo entre a = i − 2j + 2k e
b = 2i+j − 2k.
1.57 Verifique que os pontos A (1, 1, 0) , B (3, 1, 0) e C (1, 3, 0) são vértices de um triângulo
retângulo e calcule seus ângulos.
1.58 Se u e v são vetores LD, determine a projeção ortogonal de v sobre u.
1.59 Se α, β e γ são os ângulos de um vetor não nulo v com os vetoresi, j e k, respectivamente,
mostre que:
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1.
Os ângulos α, β e γ são os ângulos diretores do vetor v.
1.60 Um vetor não nulo v forma com os eixos ox e oy os ângulos α = 120o e β = 45o,
respectivamente. Determine o ângulo entre v e o eixo oz.
1.61 Dois ângulos diretores de um vetor v são: α = 60o e γ = 120o. Se kvk = 2, determine as
coordenadas do vetor v.
6
1.62 Determine os co-senos diretores do vetor v = 4i+ 3j + 12k.
1.63 Seja u = 16i− 15j + 12k. Determine v e w de norma 75, paralelos ao vetor u.
1.64 Verifique que os vetores a = 1√
6
(i−2j+k), b = 1√
2
(i−k) e c = 1√
3
(i+j+k) são ortonormais
e determine as coordenadas do vetor v = 3i+ 2j + 2k na base {a, ,b,c}.
1.65 Sejam u = j + k, v = 2i+j e w = i+ k. O conjunto {u,v, w} é uma base do espaço R3?
Essa base é ortonormal? Ela é ortogonal? É possível escrever o vetor 3i+2j +2k como combinação
linear de u,v e w?
1.66 Sejam u e v dois vetore tais que kuk = 4 e kvk = 3. Se o ângulo entre u e v e entre u+ v e
u− v é α, calcule cosα.
1.67 Se u, v e w são vetores unitários tais que u+v+ w = 0, mostre que u ·v+u · w+v · w = −3/2.
1.68 Se a e b são vetores não nulos e ortogonais, determine o valor de x de modo que os vetores
a+ xb e a−b sejam ortogonais.
1.69 Se kuk = 1, kvk = 3 e (u,v) = π/6 , calcule k(2u− v)× (u+ v)k .
1.70 Determine dois vetores de norma 3, ortogonais aos vetores a = 2i−j + k e b =i− k.
1.71 Determine um vetor v tal que v · (2i+ 3j) = 6 e v × (2i+ 3j) = 4k.
1.72 Calcule a área do paralelogramo que tem três vértices consecutivos nos pontos A (1, 0, 1) ,
B (2, 1, 3) e C (3, 2,−5) .
1.73 Verifique se os pontos A (−1,−3, 4) , B (−2, 1,−4) e C (3,−11, 5) são vértices de um triân-
gulo. Em caso afirmativo, classifique o triângulo em retângulo, isóceles ou eqüilátero e calcule sua
área.
1.74 Considere os vetores u = 2i + j + 3k e v = 4i + j − 3k. Construa uma base ortonormal
positiva {a,b,c}, sendo a paralelo ao vetor u e b paralelo ao vetor v. Determine as coordenadas do
vetor w =i+j + k na base {a,b,c}.
1.75 Use o produto vetorial e determine as condições que devem satisfazer os vetores a e b para
que a+b e a−b sejam paralelos.
1.76 Se kuk = 3 e kvk = 5, determine os valores de x de modo que os vetores u + xv e u − xv
sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos.
7
1.77 Sejam a =i−2j+3k, b = 2i−3j+k e c =i+2j−7k. Determine um vetor v perpendicular
aos vetores a e b e tal que v · c = 100.
1.78 Dados u = 3i− 2j + k, v =i+j e w = −2j − k, calcule os produtos mistos:
(a) [u,v, w] (b) [u, w, u] (c) [u, w,v] (d) [u, w, w].
1.79 Use o produto misto e verifique se os vetores a =i+j+3k, b = 2i−j+5k e c = 4i−3j+k
são coplanares.
1.80 Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A (2, 1, 6) e os três
vértices adjacentes nos pontos B (4, 1, 3) , C (1, 3, 2) e D (1, 2, 1) .
1.81 Verifique em cada caso se os pontos são coplanares.
(a) A (0, 2,−2) , B (−1, 0,−2) , C (−2,−1,−3) e D (1, 1, 1)
(a) A (−1, 0, 3) , B (−1,−2, 2) , C (1, 0, 2) e D (2, 4, 1)
1.82 Calcule o valor de x de modo que os vetores a = i + xj, b = −xi −j + k e c = i + j + k
sejam LI.
1.83 Considere o triângulo de vértices A (3, 2, 1) , B (3, 2, 2) e C (3, 3, 2). Determine:
(a) Os ângulos do ∆ABC; (b) O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
(c) A área do ∆ABC; (d) A altura do triângulo, relativa ao maior lado.
1.84 Dados a = 2i−j + 2k e b =i+ 3j, construa uma base ortonormal negativa{u,v, w} sendo
u paralelo ao vetor a e v coplanar com a e b.
1.85 Seja x < 0 e considere os vetores u = 2xi+2xj+xk, v = xi−2x+2xk e w = 2xi−xj−2xk.
Mostre que {u,v, w} é uma base ortogonal negativa. Determine o(s) valor(es) x que torna(m) a base
ortonormal e, em seguida, encontre as coordenadas do vetor a =i− 2j − 3k nessa base ortonormal.
1.86 Os vetores u, v e w são mutuamente ortogonais e formam, nessa ordem, um terno ordenado
positivo. Sabendo que kuk = 4, kvk = 2 e kwk = 3, calcule o produto misto [u,v, w].
1.87 Mostre que o volume do tetraedro da figura é:
V =
1
6
|[−→OA,−−→OB,−−→OC]|.
Fig. 1.7
1.88 Considere três vetores u, v e w, com normas 4, 2 e 6, respectivamente, tais que o ângulo
entre quaisquer dois deles, na ordem apresentada, é π/3. Calcule ku+ v + wk .
8
1.89 Verifique que os pontos A (4, 6, 2) , B (1, 2, 1) , C (3, 3, 3) e D (7, 4, 3) são vértices de um
paralelepípedo, calcule o volume do sólido e as coordenadas do ponto E, onde AE é uma diagonal
interna.
1.90 Prove que: (a) Se a · v = b · v, ∀v, então a = b; (b) Se a× v = b× v, ∀v, então a = b.
1.91 Se os vetores u, v e w são tais que uׁv+v× w+ wׁu = 0, mostre que eles são coplanares.
1.92 Mostre que: u× (v × w) = (u · w)v − (u · v)w.
1.93 Demonstre a relação: (u× v)× (z × w) = [u,v, w]z − [u,v, z]w.
1.94 Use a relação [w, z, X] = [ X, w, z], com X = u× v e demonstre que:
(u× v) · (w × z) = (u · w) · (v × z)− (u · z) · (v × w).
1.95 Sejam {u,v, w} uma base doespaço e X um vetor qualquer. Use o Exercício 1.92 e deduza
que:
X = 1∆ [
X,v, w]u+ 1∆ [u,
X, w]v + 1∆ [u,v,
X]w
onde ∆ = [u,v, w].
A Regra de Cramer
Considere um sistema linear 3× 3 :



a1x+ a2y + a3z = d1
b1x+ b2y + b3z = d2
c1x+ c2y + c3z = d3
(∗)
e defina os vetores u = a1i+ b1j+c1k, v = a2i+b2j+c2k, w = a3i+b3j+c3k e X = d1i+d2j+d3k,
de modo que X = xu+ yv + z w. Como no Exercício 1.95, seja ∆ = [u,v, w], isto é:
∆ = det


a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

 .
Se ∆ 6= 0, então os vetores u, v e w formam uma base do espaço e , portanto, os escalares x, y e z
são únicos, ou seja, a solução do sistema (∗) é única e esta vem dada por:
x =
∆x
∆ , y =
∆y
∆ e z =
∆z
∆ ,
onde os determinantes ∆x, ∆y e ∆z são obtidos a partir do ∆, do modo seguinte:
9
∆x = det


d1 a2 a3
d2 b2 b3
d3 c2 c3

 , ∆y = det


d1 a2 a3
d2 b2 b3
d3 c2 c3

 e ∆z = det


d1 a2 a3
d2 b2 b3
d3 c2 c3

 .
No caso em que o sistema é homogêneo, isto é, d1 = d2 = d3 = 0, então a única solução do sistema é
x = 0, y = 0 e z = 0.
10
Respostas & Sugestões
1.1 F, V, V, V, F, F, V, V, F, V, V, V, F, V, V, V, F.
1.2 De cima para baixo, a numeração segue a seqüência 3, 1, 7, 2, 6, 5 e 4
1.4 (a)
−→
AC (b)
−→
CA (c)
−−→
AB (d)
−−→
BD 1.6
−−→
AB +
−−→
DC = 2
−−→
MN 1.10
−−→
CD = −23
−→
AC − 13
−−→
BC
1.11
−−→
OD =
−→
OA+
−−→
OB +
−−→
OC 1.12
−−→
AD = −−→OA+ 12
−−→
OB + 12
−−→
OC
1.14 Sejam AA´, BB´ e CC‘ as medianas do triângulo ABC e O o baricentro. Use a semelhança
entre os triângulos AOC e A´OC´ para mostrar que ||−→AO|| = 2||−→OA´||.
1.15 Do Exercício 1.14 segue que
−→
AO = 23
−→
AA´,
−−→
BO = 23
−−→
BB´ e
−−→
CO = 23
−−→
CC´. Então:
−→
AO +
−−→
BO +
−−→
CO = 23(
−→
AA´+
−−→
BB´ +
−−→
CC´) = 23 [(
−−→
AB +
−−→
BA´) + (
−−→
BA+
−−→
AB´) + (
−−→
CB +
−−→
BC´)] =
= 23 [
−−→
BA´+
−−→
AB´ +
−−→
CB +
−−→
BC´] = 23 [
1
2
−→
AC + 12
−−→
CB + 12
−−→
BA] = 0
1.20 x < 0 e y = 0 1.21 (a) i− 12j +
5
2
k (b) −15i+ 2j − 22k
(c) −5i+ 32j −
15
2
k (d) b− a = −3i− 5k 1.22 v = −3u/ kuk = −6√
6
i+ 3√
6
j − 3√
6
k
1.25
−−→
AB = −4i− 2j − 3k; −→AC = −4i− 4j − 6k; −−→BC = −2i− 3j
1.26 B (4, 6, 8) 1.27 M (3, 2, 3)
°°°−−→PQ°°° = √24 1.28 w = −52 i+ 2j − 52k
1.29 D (−8,−2, 7) 1.30 C (6,−1, 19) ; D (9, 1, 16) 1.31 (a) LI; (b) LD. (c) LI (d) LD
1.32 m = 1± 2√2 1.33 Com m = 4, tem-se u = 12v 1.34 Não 1.35 y = 2z
1.36 (a) sim; (b) não 1.37 Não. Tem-se w = −u− v
1.38 Sim, porque os vetores
−−→
AB e
−→
AC são LI
1.39 A base é negativa e v = 17a+
24
49
b+ 249c 1.40 w = 8u+ 7v
1.41 V, F, V, F, F, F, V, V, V, F, V, V, V, V, F, F, V 1.48 85 1.49 20 1.50 −62
1.51 23i−
4
3
j − 43k 1.52 θ = arccos(1/
√
2) = π/4 1.53 u = −3√
34
i+ 5√
34
j
1.54 kuk = 2 e ku+ vk = 34 1.55 x = 0 1.56 u = 3√
10
i− 1√
10
j
1.57 bA = π/2; bB = bC = π/4 1.58 v 1.60 60o 1.61 v =i±√2j − k
1.62 cosα = 4/13, cosβ = 3/13 e cosγ = 12/13 1.63 v = −48i+ 45j − 36k e w = −v
1.64 v = 3
√
6
2
i+
√
2
2
j + 5
√
3k 1.65 {u,v, w} é base não ortogonal e a = 13u+ 43v + 53 w
1.66 ±1 e ± 724 1.68 x = 1 1.69 9
√
3/2 1.70 v ± 3√
11
(i+ 3j + k) 1.71 v = 2413i+
10
13
j
1.72 A = 10
√
2 1.73 Isóceles e A = 5
√
185 1.74 a =
u
kuk ,
b =
v
kvk e c =
v × w
kv × wk
1.75 Se a for paralelo a b, então a+b será paralelo a a−b
11
1.76 (a) x = ±3/5 (b) x ∈ R, se a e b forem paralelos e x = 0, caso contrário
1.77 v = 70i+ 50j + 10k 1.78 (a) −7 (b) 0 (c) 7 (d) 0 1.79 Não, porque [a,b,c] 6= 0
1.80 V = 15 1.81 (a) coplanares (b) não coplanares 1.82 x 6= 1 e x 6= −2
1.83 (a) bA = 45o, bB = 90o e bC = 45o (b) Proj−→
AC
−−→
AB = 12(
j + k) (c) 1/2 (d) h =
√
2/2
1.84 Considere u = a/ kak , v = (a+ 9b)/||a+ 9b| e w = (u× v)/ ku× vk
1.85 x = ±1/3 e v = −53 u− 13v + 103 w 1.86 24
1.87 Note que vol = 13(área da base) × h e que a área da base pode ser calculada pela norma do
produto vetorial.
1.87 V = 24 e E (3,−3, 3) 1.88 10
1.90 (a) Se a · v = b · v, ∀v, então (a − b) · v = 0, ∀v, e considerando v = a − b, obtemos
(a−b) · (a−b) = 0, isto é, ||a−b||2 = 0 e, portanto, a = b.
(b) Sejam a = x1i+y1j+z1k e b = x2i+y2j+z2k. Se aׁv = bׁv, ∀v, então (a−b)ׁv = 0, ∀v,
e considerando v =i e, depois, v = j, encontramos x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2. Logo, a = b.
1.91 É suficiente mostrar que [u,v, w] = 0. Para isto, multiplicamos escalarmente a equação
u× v + v × w + w × u = 0 por w e encontramos: (u× v) · w = 0, isto é, [u,v, w] = 0.
1.92 Desenvolva os dois lados da igualdade usando as coordenadas dos vetores e comprove o
resultado.
1.93 Do Exercício 1.92, temos que a × (z × w) = (a · w)z − (a · z) w e considerando a = u × v
obtemos (u× v)× (z × w) = [(u× v) · w]z − [(u× v) · z]w = [u,v, w]z − [u,v, z] w.
1.94 Temos [w, z,a] = [a, w, z] e considerando a = u× v, obtemos:
[w, z, u× v] = [u× v, w, z]⇐⇒ (w × z) · (u× v) = [(u× v)× w] · z ⇐⇒
(w × z) · (u× v) = − £w× (u× v)¤ · z = (usar Ex 1.92) = − [(w · v) u− (w · u)v]z =
= (w · u) (v · z)− (w · v) (u · z)
1.95 Do exercício 1.93, temos:
(i) (u× v)× (w × x) = [u,v, x] w − [u,v, w] x e
(ii) (u× v)× (w × x) = − (w × x)× (u× v) = − {[w, x,v]u− [w, x, u]v}
e, portanto, [u,v, x] w − [u,v, w]x = − [w, x,v]u+ [w, x, u]. Isolando x no 1o membro, chegamos ao
resultado.
12