1.85 Seja x < 0 e considere os vetores u = 2xi+2xj+xk, v = xi−2x+2xk e w = 2xi−xj−2xk. Mostre que {u, v, w} é uma base ortogonal negativa. Determin...

Para mostrar que {u, v, w} é uma base ortogonal negativa, precisamos verificar duas condições: 1. Ortogonalidade: os vetores devem ser ortogonais entre si, ou seja, seus produtos internos devem ser iguais a zero. 2. Negatividade: todos os vetores devem ter norma negativa. Vamos verificar essas condições: 1. Produto interno entre u e v: (u,v) = (2x * x) + (2x * (-2x)) + (x * 2x) = 0 Produto interno entre u e w: (u,w) = (2x * 2x) + (2x * (-x)) + (x * (-2x)) = 0 Produto interno entre v e w: (v,w) = (x * 2x) + ((-2x) * (-x)) + (2x * (-2x)) = 0 Portanto, os vetores são ortogonais entre si. 2. Norma dos vetores: ||u||² = (2x)² + (2x)² + x² = 9x² ||v||² = x² + (-2x)² + (2x)² = 9x² ||w||² = (2x)² + (-x)² + (-2x)² = 9x² Como x < 0, temos que 9x² < 0, ou seja, todos os vetores têm norma negativa. Logo, {u, v, w} é uma base ortogonal negativa. Para encontrar os valores de x que tornam a base ortonormal, precisamos dividir cada vetor pela sua norma: u/||u|| = (2xi + 2xj + xk)/3x v/||v|| = (xi - 2xj + 2xk)/3x w/||w|| = (2xi - xj - 2xk)/3x Para que esses vetores sejam ortonormais, seus produtos internos devem ser iguais a 1 ou -1: (u/||u||, v/||v||) = (u/||u||, w/||w||) = (v/||v||, w/||w||) = 0 (u/||u||, u/||u||) = (v/||v||, v/||v||) = (w/||w||, w/||w||) = 1 Vamos usar essas condições para encontrar x: (u/||u||, v/||v||) = [(2xi + 2xj + xk)/3x] . [(xi - 2xj + 2xk)/3x] = (2x * x + 2x * (-2x) + x * 2x)/(9x²) = -3/9 = -1/3 (u/||u||, w/||w||) = [(2xi + 2xj + xk)/3x] . [(2xi - xj - 2xk)/3x] = (2x * 2x + 2x * (-x) + x * (-2x))/(9x²) = 0 (v/||v||, w/||w||) = [(xi - 2xj + 2xk)/3x] . [(2xi - xj - 2xk)/3x] = (x * 2x + (-2x) * (-x) + 2x * (-2x))/(9x²) = 0 (u/||u||, u/||u||) = [(2xi + 2xj + xk)/3x] . [(2xi + 2xj + xk)/3x] = (4x² + 4x² + x²)/(9x²) = 9x²/(9x²) = 1 (v/||v||, v/||v||) = [(xi - 2xj + 2xk)/3x] . [(xi - 2xj + 2xk)/3x] = (x² + 4x² + 4x²)/(9x²) = 9x²/(9x²) = 1 (w/||w||, w/||w||) = [(2xi - xj - 2xk)/3x] . [(2xi - xj - 2xk)/3x] = (4x² + x² + 4x²)/(9x²) = 9x²/(9x²) = 1 Portanto, temos que: (u/||u||, v/||v||) = -1/3 (u/||u||, w/||w||) = 0 (v/||v||, w/||w||) = 0 (u/||u||, u/||u||) = 1 (v/||v||, v/||v||) = 1 (w/||w||, w/||w||) = 1 A condição (u/||u||, v/||v||) = -1/3 não é satisfeita para nenhum valor de x, portanto não há valores que tornem a base ortonormal. Para encontrar as coordenadas do vetor a = i - 2j - 3k nessa base ortonormal, podemos usar a fórmula: a = (a.u/||u||) * (u/||u||) + (a.v/||v||) * (v/||v||) + (a.w/||w||) * (w/||w||) Onde a.u/||u||, a.v/||v|| e a.w/||w|| são as coordenadas do vetor a na base {u, v, w}. Como não há valores que tornem a base ortonormal, não podemos encontrar as coordenadas de a nessa base.