Determine a solução para a equação diferencial , com pertencente ao intervalo . 6x2 − 2ex + 2xy′′ = 0 a) y = axcosx + bxsenx + 2ln(cos(x))cosx + ...

A equação diferencial dada é 6x² - 2e^x + 2xy'' = 0. Para resolvê-la, podemos utilizar o método da série de potência. Assumindo que y(x) pode ser representado por uma série de potência em torno de x = 0, temos: y(x) = ∑(n=0 até infinito) an * x^n Substituindo y(x) e y''(x) na equação diferencial, temos: 6x² - 2e^x + 2x(∑(n=2 até infinito) n(n-1)an * x^(n-2)) = 0 Simplificando, temos: ∑(n=0 até infinito) [(n+2)(n+1)an+2 - 2an-1 - 2e^x/(3n(n-1))] * x^n = 0 Para que essa equação seja satisfeita para todo x, cada coeficiente de x^n deve ser igual a zero. Portanto, temos as seguintes equações para os coeficientes: (n+2)(n+1)an+2 - 2an-1 - 2e^x/(3n(n-1)) = 0 Resolvendo essa equação de recorrência, encontramos: a0 = c1 a1 = c2 + e/3 an = (2n-1-e/3)*an-1/(n*(n+1)), para n >= 2 Substituindo esses coeficientes na série de potência de y(x), temos: y(x) = c1 + (c2 + e/3)x + ∑(n=2 até infinito) [(2n-1-e/3)*an-1/(n*(n+1))] * x^n Portanto, a alternativa correta é a letra d) y = axcosx + bsenx + 2ln(x)cosx − xsen(x), a e b reais.