181. Considere a matriz A = [ 0 1 21 −1 −4 −1 0 2 ] . (a) Determine, para a matriz A , a sua factorização PA = LU . (b) Sem efectuar cálculos, diga...

(a) Para encontrar a factorização PA = LU da matriz A, podemos utilizar o método de eliminação de Gauss. Após aplicar o método, obtemos: P = [0 0 1; 0 1 0; 1 0 0] L = [1 0 0; 0 1 0; 0.00 1] U = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1] Portanto, a factorização PA = LU da matriz A é dada por: PA = [0 1 0; -1 0 0; 0 0 1] [1 0 0; 0 1 0; 0.00 1] [0 1 21; -1 -4 -1; 0 2 0] (b) O determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de U, ou seja: det(A) = 1 * 1 * (-4) = -4 (c) Para encontrar uma base para o espaço das colunas de A, basta encontrar as colunas de A que são linearmente independentes. Podemos ver que as colunas 1, 2 e 3 são linearmente independentes, portanto, uma base para o espaço das colunas de A é dada por: {(0, -1, 0), (1, -4, 2), (21, -1, 0)} (d) A projeção ortogonal de b sobre C(A) é dada por: projC(A) b = A(A^T A)^-1 A^T b Após calcular as matrizes, obtemos: projC(A) b = [0.5; -0.5; 1.5] (e) A solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema Ax = b é dada por: x = (A^T A)^-1 A^T b Após calcular as matrizes, obtemos: x = [-0.25; 0.5; 0.25]