Exercı́cio 35.1. 1. Considere a matriz A= ⎛ ⎝ 2 −1 −1 1 0 −1 −1 1 2 ⎞ ⎠. a. Determine se a matriz A é diagonalizável e, caso seja, determine...

a. Para verificar se a matriz A é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui três autovetores linearmente independentes. Calculando os autovetores, temos: λ1 = 1, v1 = (1, 1, 1) λ2 = 2, v2 = (1, 0, -1) λ3 = -1, v3 = (1, 2, -1) Como os três autovetores são linearmente independentes, a matriz A é diagonalizável. Para encontrar a matriz diagonal D semelhante a A, basta colocar os autovalores na diagonal principal: D = ⎛⎜⎝ 1 0 0 0 2 0 0 0 -1 ⎞⎟⎠ b. Para encontrar a matriz P, basta colocar os autovetores como colunas da matriz: P = ⎛⎜⎝ 1 1 1 1 0 2 1 -1 -1 ⎞⎟⎠ Assim, temos que D = P^-1AP.