205. Determine equações reduzidas das quádricas de equação: (a) x2−2xy+y2−2yz+z2+2xz = 1 ; (b) x2+y2+2xz+z2+y = 1 ; (c) 2x2+2xy+2y2+2xz+2z2+2yz = 3...

(a) Para determinar a equação reduzida de uma quádrica, é necessário encontrar a matriz de coeficientes e diagonalizá-la. A equação dada pode ser escrita na forma matricial como: [x y z] [1 -1 1/2; -1 1 1/2; 1/2 1/2 1] [x; y; z] = 1 A matriz de coeficientes é simétrica e, portanto, diagonalizável. Seja P a matriz de autovetores e D a matriz diagonal dos autovalores. Então, a equação reduzida é dada por: [u v w] [λ1 0 0; 0 λ2 0; 0 0 λ3] [u; v; w] = 1 Onde [u v w] = [x y z]P. Os autovalores são as raízes da equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz de coeficientes e I é a matriz identidade. Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = 1, λ2 = 1/2 e λ3 = 1/2. Os autovetores correspondentes são: v1 = [1 1 1]' v2 = [-1 1 0]' v3 = [1 1 -2]' Normalizando esses autovetores, obtemos: u1 = [1/√3 1/√3 1/√3]' u2 = [-1/√2 0 1/√2]' u3 = [1/√6 1/√6 -2/√6]' Substituindo [u v w] = [x y z]P, obtemos a equação reduzida: (x/√3 + y/√3 + z/√3)²/1 + (-x/√2 + z/√2)²/1/2 + (x/√6 + y/√6 - 2z/√6)²/1/2 = 1 (b) A equação dada pode ser escrita na forma matricial como: [x y z] [1 0 1; 0 1 0; 1 0 1] [x; y; z] + [0 1 0] [x; y; z] = 1 A matriz de coeficientes é simétrica e, portanto, diagonalizável. Seja P a matriz de autovetores e D a matriz diagonal dos autovalores. Então, a equação reduzida é dada por: [u v w] [λ1 0 0; 0 λ2 0; 0 0 λ3] [u; v; w] + [0 1 0] [u; v; w] = 1 Onde [u v w] = [x y z]P. Os autovalores são as raízes da equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz de coeficientes e I é a matriz identidade. Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = 2, λ2 = 0 e λ3 = 0. Os autovetores correspondentes são: v1 = [1 0 1]' v2 = [0 1 0]' v3 = [-1 0 1]' Normalizando esses autovetores, obtemos: u1 = [1/√2 0 1/√2]' u2 = [0 1 0]' u3 = [-1/√2 0 1/√2]' Substituindo [u v w] = [x y z]P, obtemos a equação reduzida: (x/√2 + z/√2)²/2 + y² = 1/2 (c) A equação dada pode ser escrita na forma matricial como: [x y z] [2 1 1; 1 2 1; 1 1 2] [x; y; z] = 3 A matriz de coeficientes é simétrica e, portanto, diagonalizável. Seja P a matriz de autovetores e D a matriz diagonal dos autovalores. Então, a equação reduzida é dada por: [u v w] [λ1 0 0; 0 λ2 0; 0 0 λ3] [u; v; w] = 3 Onde [u v w] = [x y z]P. Os autovalores são as raízes da equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz de coeficientes e I é a matriz identidade. Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = 4, λ2 = λ3 = 0. Os autovetores correspondentes são: v1 = [1 1 1]' v2 = [-1 1 0]' v3 = [-1 0 1]' Normalizando esses autovetores, obtemos: u1 = [1/√3 1/√3 1/√3]' u2 = [-1/√2 0 1/√2]' u3 = [-1/√6 2/√6 1/√6]' Substituindo [u v w] = [x y z]P, obtemos a equação reduzida: (x/√3 + y/√3 + z/√3)²/4 = 3 (d) A equação dada pode ser escrita na forma matricial como: [x y z 1] [1 2 0 1/2; 2 4 2 0; 0 2 1 2; 1/2 0 2 1] [x; y; z; 1] = 4 A matriz de coeficientes é simétrica e, portanto, diagonalizável. Seja P a matriz de autovetores e D a matriz diagonal dos autovalores. Então, a equação reduzida é dada por: [u v w 1] [λ1 0 0 0; 0 λ2 0 0; 0 0 λ3 0; 0 0 0 λ4] [u; v; w; 1] = 4 Onde [u v w] = [x y z]P. Os autovalores são as raízes da equação característica det(A - λI) = 0, onde A é a matriz de coeficientes e I é a matriz identidade. Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores λ1 = 6, λ2 = 1, λ3 = 1/2 e λ4 = 0. Os autovetores correspondentes são: v1 = [1 0 1/2 -1]' v2 = [-1/2 1 0 -1/2]' v3 = [1/2 0 -1/2 -1/2]' v4 = [1/2 -1 0 -1/2]' Normalizando esses autovetores, obtemos: u1 = [2/√6 0 1/√6 -1/√6]' u2 = [-1/√6 2/√6 0 -1/√6]' u3 = [1/√6 0 -1/√6 -1/√6]' u4 = [1/√6 -2/√6 0 -1/√6]' Substituindo [u v w] = [x y z]P, obtemos a equação reduzida: (2x/√6 + z/√6 - y/√6 - z/√6 - x/√6 - y/√6)²/6 + (x/√6 - z/√6 - y/√6 - z/√6)²/2 + (x/√6 - 2y/√6 - z/√6 - y/√6)²/1/2 + (x/√6 - 2y/√6 - z/√6 - z/√6 - x/√6 + y/√6)²/0 = 4 Portanto, a equação reduzida é: (x - y + z)²/3 + (x - z)²/2 + (x - 3y - z)²/2 = 24/5