204. Determine equações reduzidas das cónicas de equação: (a) x2+2xy+y2 = 1 ; (b) x2−4xy−2y2 = 1 ; (c) 3xy = 1 ; (d) xy+x+y = 0 ; (e) x2+y2−3x−3y+x...

Vamos lá: (a) A equação x² + 2xy + y² = 1 pode ser reescrita como (x+y)² = 1. Portanto, a equação reduzida é (x+y)²/1² = 1, ou seja, (x+y)² = 1. (b) A equação x² - 4xy - 2y² = 1 pode ser reescrita como (x-2y)² - 5y² = 1. Portanto, a equação reduzida é (x-2y)²/1² - 5y²/1² = 1, ou seja, (x-2y)² - 5y² = 1. (c) A equação 3xy = 1 pode ser reescrita como y = 1/(3x). Substituindo na equação x² + 2xy + y² = 1, temos x² + 2x(1/(3x)) + 1/(9x²) = 1, que pode ser simplificada para 3x² + 2x + 1 = 3x². Portanto, a equação reduzida é 2x + 1 = 0, ou seja, x = -1/2. (d) A equação xy + x + y = 0 pode ser reescrita como (x+1)(y+1) = 1. Substituindo y = 1/(x+1) na equação x² + 2xy + y² = 0, temos x² + 2x(1/(x+1)) + 1/(x+1)² = 0, que pode ser simplificada para x³ + x² - x - 1 = 0. Portanto, a equação reduzida é x³ + x² - x - 1 = 0. (e) A equação x² + y² - 3x - 3y + xy = 0 pode ser reescrita como (x+y)² - 5x - 5y = 0. Substituindo y = -5x/(x+1) na equação x² + 2xy + y² = 0, temos x² + 2x(-5x/(x+1)) + 25x²/(x+1)² = 0, que pode ser simplificada para x⁴ - 3x³ - 11x² + 15x = 0. Portanto, a equação reduzida é x⁴ - 3x³ - 11x² + 15x = 0. (f) A equação 6x² + 4xy + 3y² + 2x - y = 1 pode ser reescrita como (2x+y)² + 5y² = 1. Portanto, a equação reduzida é (2x+y)²/1² + 5y²/1² = 1, ou seja, (2x+y)² + 5y² = 1.