Exercício 3: Determine o volume do sólido S descrito em cada caso. a) S é limitado pelas superfícies de equações z = 0, ???? = ????2 + ????2 e ????2 + ????...

Para determinar o volume do sólido S descrito em cada caso, é necessário utilizar o conceito de integração tripla. a) Para o sólido S limitado pelas superfícies de equações z = 0, x^2 + y^2 = 2z e x^2 + y^2 = 2a, onde a é uma constante, temos que o volume é dado por: V = ∭S dV V = ∫∫∫ dV V = ∫∫∫ dz dxdy V = ∫∫[∫0^(2a-2z) dz] dxdy V = ∫∫(2a-2z) dxdy V = ∫∫2a dxdy - 2∫∫z dxdy V = 2a∫∫dxdy - 2∫∫(x^2 + y^2)/2 dxdy V = 2aπ - π∫∫(x^2 + y^2) dxdy V = 2aπ - π∫0^a [∫0^(2πr) r^3 dr dθ] V = 2aπ - π∫0^a [2π(1/4)r^4] dr V = 2aπ - π(1/5)a^5 V = (10a^4π - πa^5)/5 b) Para o sólido S limitado por x^2 + y^2 − 1 = −z^2 e z = √(x^2 + y^2), temos que o volume é dado por: V = ∭S dV V = ∫∫∫ dV V = ∫∫∫ dz dxdy V = ∫∫[∫-√(x^2+y^2)^(x^2+y^2-1) dz] dxdy V = ∫∫[(x^2+y^2-1)^(3/2)/3] dxdy V = ∫0^2π [∫0^1 r(r^2-1)^(3/2)/3 dr] dθ V = (16π/15) - (4/15)∫0^2π [cos^5(θ)/5] dθ V = (16π/15) - (4/75) [sin(θ)cos^4(θ)]_0^2π V = (16π/15)