Lista 2 Cálculo 3 Integrais duplas coordenadas polares

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Lista 2 – Cálculo III 
 
 
Exercício 1: As duas integrais abaixo estão escritas em coordenadas cartesianas. 
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares. 
a) ∫ ∫ 𝑝(𝑥, 𝑦)
𝑥
𝑥2
1
0
𝑑𝑦 𝑑𝑥 b) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)
√2𝑦−𝑦2
0
2
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 
Exercício 2: Esboce a região de integração e em seguida calcule a integral abaixo 
∫ ∫ 𝑥2 + 𝑦2
𝑅
𝑑𝐴 , 
onde 𝑅 é a região limitada pelas espirais 𝑟 = 𝜃 e 𝑟 = 2𝜃, sendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. 
 
Exercício 3: Determine o volume do sólido S descrito em cada caso. 
a) S é limitado pelas superfícies de equações z = 0, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥. 
b) S é o sólido de menor volume limitado por 𝑦2 + 𝑥2 − 1 = − 𝑧2 e 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2. 
 
Exercício 4: Determine a área da superfície 𝑆 descrita em cada caso. 
a) 𝑆 é o subconjunto da esfera com centro na origem e raio 4 que é limitado pela superfície 
𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑥 e que está acima do plano 𝑥𝑦. 
b) 𝑆 é a parte do paraboloide hiperbólico 𝑧 = 𝑦2 − 𝑥2 que está entre as superfícies de 
equação 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
 
Exercício 5: Calcule a integral abaixo 
∫ ∫ 𝑥2𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦
√4−𝑦2
−√4−𝑦2
2
0
 
 
Exercício 6: Calcule a área da região limitada pela lemniscata 𝑟2 = 4 cos 2θ sabendo 
que as retas tangentes a essa curva na origem são 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = − 𝑥 . 
 
Exercício 7: Seja 𝐷 a região semicircular localizada no o segundo e no terceiro 
quadrantes, que é centrada na origem e que possui raio 4. Neste caso, se L é uma lâmina 
que ocupa a região 𝐷 e se 𝜌(𝑥, 𝑦) = 3√𝑥2 + 𝑦2 é a função que descreve a densidade de 
massa (em quilogramas por metros quadrados) em L, então 
a) determine a massa total de L e 
b) determine o centro de massa de L. 
 
Exercício 8: Seja 𝑅 a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas 𝑥2 = 𝑦 e 
𝑦 = 1. Neste caso, se L é uma lâmina que ocupa a região 𝑅 e se 𝜎(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 é a 
função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em 
L, então determine a carga total de L. 
 
Respostas: 
1) a) ∫ ∫ 𝑟 𝑝(𝑟 cos θ , 𝑟 sen θ)
tg θ sec θ
0
 
 𝜋 
4
0
𝑑𝑟 𝑑θ 
b) ∫ ∫ 𝑟 𝑓(𝑟 cos θ , 𝑟 sen θ)
2 sen θ
0
 
 𝜋 
2
0
𝑑𝑟 𝑑θ 
 
2) A integral é igual a 24π5 e o esboço da região R está abaixo 
 
 
3) a) 3π/2 b) 
 2π − π √2 
3
 
4) a) 16π – 32 b) (π /6)(17√17 – 5√5 ) 
5) 
 4π 
3
 6) 4 
7) a) 64π kg b) (– 6 /π, 0) 
8) 1/6 C