Analise as assertivas (i), (ii), (iii) e (iv) sobre subgrupos normais e grupos quocientes:

(i) Dado o grupo G=[a] e seu subgrupo normal N= {e, a...

Question

Analise as assertivas (i), (ii), (iii) e (iv) sobre subgrupos normais e grupos quocientes:

(i) Dado o grupo G=[a] e seu subgrupo normal N= {e, a, a²}. A tábua de operações do grupo quociente G/H é composta pelos elementos H e aH.

(ii) O grupo G possui dois subgrupos normais M e N, porém o subgrupo MN não é normal de G.

(iii) Se G é um grupo cíclico e N seu subgrupo normal, G/N não é cíclico.

(iv) Se G= Z_8 e N = {0 ̄,2 ̄,4 ̄,6 ̄}, sendo N subgrupo normal de G, então G/N é um grupo quociente e cíclico.

Escolha uma opção:

a.
Somente as assertivas (iii) e (iv) são verdadeiras.

b.
Somente as assertivas (ii) e (iii) são verdadeiras.

c.
Todas as assertivas são verdadeiras.

d.
Somente as assertivas (i) e (ii) são verdadeiras.

e.
Somente as assertivas (i) e (iv) são verdadeiras.

Ed · Answer

Vamos analisar cada assertiva:

(i) Dado o grupo G=[a] e seu subgrupo normal N= {e, a, a²}. A tábua de operações do grupo quociente G/H é composta pelos elementos H e aH.
Esta assertiva está correta, pois descreve a formação da tabela de operações do grupo quociente.

(ii) O grupo G possui dois subgrupos normais M e N, porém o subgrupo MN não é normal de G.
Esta assertiva está incorreta, pois se M e N são subgrupos normais de G, então o produto de subgrupos M*N é normal em G.

(iii) Se G é um grupo cíclico e N seu subgrupo normal, G/N não é cíclico.
Esta assertiva está correta. O grupo quociente de um grupo cíclico por um subgrupo normal não é necessariamente cíclico.

(iv) Se G= Z_8 e N = {0 ̄,2 ̄,4 ̄,6 ̄}, sendo N subgrupo normal de G, então G/N é um grupo quociente e cíclico.
Esta assertiva está correta. O grupo quociente G/N é cíclico.

Portanto, a opção correta é:

e. Somente as assertivas (i) e (iv) são verdadeiras.

Analise as assertivas (i), (ii), (iii) e (iv) sobre subgrupos normais e grupos quocientes: (i) Dado o grupo G=[a] e seu subgrupo normal N= {e, a...

Geometria Analítica e Álgebra Linear

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