15. Um cilindro é fechado por um pistão conectado a uma mola de constante 2,00 x 103 N/m. Com a mola sem esforço, o cilindro é preenchido com 5,00 ...

a) Para calcular a altura que o pistão atingirá, podemos utilizar a equação da lei de Hooke, que relaciona a força exercida pela mola com a deformação sofrida por ela: F = kx, onde F é a força, k é a constante da mola e x é a deformação. Como a área da seção transversal do pistão é de 0,0100 m², a força exercida pela mola será F = kx = 2,00 x 10³ N/m x A x Δx, onde A é a área do pistão e Δx é a deformação sofrida pela mola. Como a massa do pistão é desprezível, a força exercida pela mola será igual ao peso do gás contido no cilindro. Assim, podemos escrever: F = P.A = m.g, onde P é a pressão do gás, m é a massa do gás contido no cilindro, g é a aceleração da gravidade e A é a área do pistão. Como a massa do pistão é desprezível, podemos considerar que a massa do gás é igual à massa do cilindro cheio de gás. A massa do gás pode ser calculada a partir da equação dos gases ideais: PV = nRT, onde P é a pressão, V é o volume, n é o número de mols, R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura absoluta. Como o volume inicial do cilindro é de 5,00 litros, temos: V = 5,00 x 10⁻³ m³. Como a temperatura inicial é de 20,0°C = 293 K, podemos calcular o número de mols de gás contido no cilindro: n = PV/RT = (1,00 x 10⁵ Pa) x (5,00 x 10⁻³ m³)/(8,31 J/(mol.K) x 293 K) = 0,201 mol. A massa do gás pode ser calculada a partir da massa molar do gás contido no cilindro: m = n.M, onde M é a massa molar do gás. Como não foi especificado qual é o gás contido no cilindro, não é possível calcular a massa molar e, portanto, a massa do gás. No entanto, podemos prosseguir com o cálculo, considerando que a massa do gás é conhecida. Assim, temos: F = P.A = m.g = 0,201 M.g, onde M é a massa molar do gás. Como a temperatura é aumentada para 250°C = 523 K, a pressão do gás aumentará, mantendo-se o volume constante. A pressão final pode ser calculada a partir da equação dos gases ideais: P'V = nRT', onde P' é a pressão final, V é o volume, n é o número de mols, R é a constante dos gases ideais e T' é a temperatura absoluta final. Como o volume é constante, temos: P/P' = T'/T = 523 K/293 K = 1,78. Assim, a pressão final será: P' = P/1,78 = 1,00 x 10⁵ Pa/1,78 = 5,62 x 10⁴ Pa. Substituindo na equação da força exercida pela mola, temos: Δx = F/(kA) = (P'V - PV)/(kA) = (nR(T' - T))/(kA) = (0,201 M x 8,31 J/(mol.K) x (523 K - 293 K))/(2,00 x 10³ N/m x 0,0100 m²) = 0,019 m = 1,9 cm. Portanto, a altura que o pistão atingirá será de 1,9 cm. b) A pressão do gás a 250°C será de 5,62 x 10⁴ Pa.