7. Uma ancião pediu a um matemático que o ajudasse a resolver o seguinte problema de herança: A quantia de 1800 U.M. (unidades monetárias) deveria ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma Progressão Aritmética (PA) e a fórmula da soma dos termos de uma Progressão Geométrica (PG). Primeiramente, sabemos que a soma dos termos de uma PA é dada por: S = (a1 + an) * n / 2 Onde S é a soma dos termos, a1 é o primeiro termo, an é o último termo e n é o número de termos. Como a soma dos termos deve ser igual a 1800 U.M., podemos escrever: 1800 = (a1 + an) * n / 2 Também sabemos que as quantias distribuídas devem estar em PA e proporcionais às idades dos filhos. Como a idade do filho mais novo é 6 anos e a do mais velho é 66 anos, podemos escrever: an = a1 + (n - 1) * r 66 = a1 + 3r 6 = a1 + r Substituindo an na fórmula da soma dos termos, temos: 1800 = (a1 + a1 + 3r) * (n / 2) 3600 = 2a1 * n + 3r * n 3600 = 2a1 * (n - 1) + 3r * (n - 1) + 2a1 + 3r 3600 = 2a1 * (n - 1) + 3r * (n - 1) + 2(a1 + r) Como temos duas incógnitas (a1 e r), precisamos de mais uma equação para resolver o sistema. Essa equação pode ser obtida a partir da fórmula da soma dos termos de uma PG: Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1) Onde Sn é a soma dos n primeiros termos, a1 é o primeiro termo, q é a razão e n é o número de termos. Como as quantias distribuídas devem estar em PG, podemos escrever: an = a1 * q^(n - 1) 66 = a1 * q^3 6 = a1 * q Substituindo an na fórmula da soma dos termos, temos: 1800 = a1 * (q^n - 1) / (q - 1) Multiplicando essa equação por (q - 1), temos: 1800 * (q - 1) = a1 * (q^n - 1) Dividindo essa equação por a1, temos: 1800 * (q - 1) / a1 = q^n - 1 Como q = 6 / a1, podemos substituir na equação acima: 1800 * (6 / a1 - 1) / a1 = (6 / a1)^n - 1 Simplificando essa equação, temos: 1800 * (6 - a1) = a1^n * (6^n - a1^n) Essa equação pode ser resolvida numericamente ou por tentativa e erro. Uma possível solução é a1 = 2 e r = 4, o que resulta em: a1 = 2 an = 14 r = 4 n = 4 Portanto, a herança será dividida da seguinte forma: - O filho mais novo receberá 2 U.M. - O segundo filho receberá 6 U.M. (aos 10 anos) - O terceiro filho receberá 10 U.M. (aos 14 anos) - O filho mais velho receberá 14 U.M. Note que essa não é a única solução possível, mas é uma solução que satisfaz as condições do problema.