Questão resolvida - Um sólido E está contido no cilindro xy 1 abaixo do plano z 4 e acima do paraboloide z 1 - x- y Calcule o volume desse sólido - Cálculo II

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Um sólido E está contido no cilindro abaixo do plano e acima do x + y = 12 2 z = 4
paraboloide Calcule o volume desse sólido.z = 1 - x - y .2 2
 
Resolução:
 
Primeiro, precisamos atribuir alguns valores ao parabolóide para fazer um esboço da região, 
assim, fazemos;
 
x = 0 z = 1 - 0 - y z = 1 - y Parábola com convavidade voltada para baixo que toca → ( )2 2 → 2 →
o eixo em z em 1
 
y = 0 z = 1 - x - 0 z = 1 - x Parábola com convavidade voltada para baixo que toca → 2 ( )2 → 2 →
o eixo em z em 1
 
 
 
-1 -0.5 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
z
y
z = 0 0 = 1 - x - y -1 = -x - y ⋅ -1 1 = x + y x + y = 1→ 2 2 → 2 2 ( ) → 2 2 → 2 2
Temos um círculo de raio 1 no plano xy;
O cilindro tem raio 1, já que sua equação tem formato;
 
Cilindo x + y = 1 x + y =→ 2 2 → 2 2 12
 
 
-1 -0.5 0.5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
z
x
-3 -2 -1 1 2 30
-1
1
2
y
x
x
Com essas informações, e sabendo que o sólido é limitado superiormente pelo plano , z = 4
podemos esboçar o volume desejado, como visto a seguir;
Portanto, com a analise do esboço e com as informações fornecedas no enunciado, 
podemos definir o volume como uma integral tripla:
 
V = (4 - (1 - x - y )) dV
D
∭ 2 2
 
Vamos usar coordenadas cilindricas para realizar a integração e obter o volume, já que o 
domínio é circular, mas antes, devemos encontrar a intercessão entre o paraboliode e o 
cilindro, como feito na sequência;
 
Temos que : z = 1 - x - y2 2
 
Colocando o sinal negativo em evidência no segundo membro, fica;
 
z = 1 - x + y2 2
 
a equação do ciclindro é; 
 
x + y = 12 2
 
substituindo 2 em 1, temos que :
 
z = 1 - 1 z = 1 - 1 z = 0( ) → →
 
 
 
(1)
(2)
Logo, o cilindro e o paraboloide se interceptam em , com isso;z = 0
 
z = 0 0 = 1 - x - y 1 - x - y = 0 -x - y = - 1 ⋅ -1→ 2 2 → 2 2 → 2 2 ( )
 
x + y = 12 2
 
A equação 3 nos mostra que a intercessão é um círculo de raio 1 no plano xy.
 
A equação do volume em coordenadas cilindricas é dada pela expressão;
 
V = r dz dr d𝜃∫∫∫
 
Agora, definimos os limites de integração;
 
Em z
 
Perceba, pelo esboço, que o limite de integração vai da curva de baixo 
z = 1 - x - y até a curva de cima z = 4;2 2
 
Devemos passar a equação do paraboliode para coordenadas cilindricas, em coordenadas 
cilindricas temos a seguinte relação;
 
r = x + y2 2 2
 
substituindo 5 em 1;
 
z = 1 - r z = 1 - r2 → 2
 
Dessa forma, o limite de integração em z varia de z = 1 - r a z = 42
Em r
 
Devemos percorrer todo o raio do ciclindro, indo de 0 a 1
 
Em θ
 
Demos percorrer uma volta angular completa no círculo que define o cilindro, indo 0 a 2𝜋
 
 
 
(3)
(4)
(5)
Definidos os limites de integração, temos que a equação 4 fica;
 
V = r dz dr d𝜃
0
∫
2𝜋 1
0
∫
4
∫
1-r2
Resolvendo;
 
V = r z dr d𝜃 V = r 4 - 1 - r dr d𝜃 V = r 4 - 1 + r dr d𝜃
0
∫
2𝜋 1
0
∫
4
1-r2
→
0
∫
2𝜋 1
0
∫ 2 ] →
0
∫
2𝜋 1
0
∫ 2 ]
 
V = 3r + r dr d𝜃 V = 3r + r dr d𝜃 V = + d𝜃
0
∫
2𝜋 1
0
∫ 3 →
0
∫
2𝜋 1
0
∫ 3 →
0
∫
2𝜋 3r
2
2 r
4
4 1
0
V = + d𝜃 V = d𝜃 V = d𝜃 V = d𝜃
0
∫
2𝜋 3
2
1
4
→
0
∫
2𝜋 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1
4
→
0
∫
2𝜋 6 + 1
6
→
0
∫
2𝜋7
4
 
V = u. v.
7𝜋
2
 
 
V = + - + d𝜃 V = + d𝜃
0
∫
2𝜋 3 1
2
( )2 1
4
( )4 3 0
2
( )2 0
4
( )4
→
0
∫
2𝜋 3 ⋅ 1
2
1
4
0
V = 𝜃 V = 2𝜋 - 0 V = ⋅ 2𝜋
7
4
2𝜋
0
→
7
4
( ) →
7
4
2
(Resposta)