Encontre a série de Taylor para f (x) = ln 1/x centrada em a =1 e determine o intervalo de convergência. a. somatório(n=0,∞) [(x)n (3)n]/n e I= (2;...

A série de Taylor para f(x) = ln(1/x) centrada em a = 1 é dada por: ∑(n=1,∞) [(-1)^(n+1) (x-1)^n]/n O intervalo de convergência é dado por: I = (0, 2] Explicação: Para encontrar a série de Taylor para f(x) = ln(1/x) centrada em a = 1, precisamos calcular as derivadas sucessivas de f(x) e avaliá-las em x = 1. Temos: f(x) = ln(1/x) = -ln(x) f'(x) = -1/x f''(x) = 1/x^2 f'''(x) = -2/x^3 f''''(x) = 6/x^4 ... Agora, podemos escrever a série de Taylor para f(x) em torno de x = 1: ∑(n=0,∞) [f^(n)(1)/n!] (x-1)^n Substituindo as derivadas de f(x) que calculamos acima, temos: ∑(n=0,∞) [(-1)^(n+1) (x-1)^n]/n Para determinar o intervalo de convergência, podemos usar o teste da razão: lim |[(-1)^(n+2) (x-1)^(n+1)]/[(n+1)(-1)^(n+1) (x-1)^n]| = |x-1| O limite acima é igual a |x-1|. Portanto, a série converge se |x-1| < 1, ou seja, se 0 < x < 2. No entanto, precisamos verificar se a série converge nos extremos do intervalo. Temos: x = 0: a série se torna ∑(n=0,∞) [(-1)^n]/n, que é a série harmônica alternada, que sabemos que converge. Portanto, x = 0 está no intervalo de convergência. x = 2: a série se torna ∑(n=0,∞) [(-1)^n]/n, que é a série harmônica alternada, que sabemos que converge. Portanto, x = 2 está no intervalo de convergência. Assim, o intervalo de convergência é I = (0, 2]. A alternativa correta é a letra b.