Calculo Numerico- aula 1 a 10

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Calculo Numérico – quinto período – 2016.2- aula 1 a 10 e resumo
Aula 1: Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN)
Introdução
Diversas são as aplicações que envolvem operações aritméticas (Escalares, Vetores e Matrizes), funções e seus gráficos. As funções e seus gráficos descrevem fenômenos físicos, químicos, econômicos, problemas na engenharia e em diversas áreas. Nesta aula, resolveremos alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Adição
Dados dois vetores u e v, define-se o vetor soma u + v. Para determinar a soma u + v, no caso em que u e v não são paralelos, basta “fechar o triângulo”, com o cuidado de escolher a origem do representante de v coincidindo com a extremidade do representante de u.Também se pode usar a regra do paralelogramo.
Exemplo: u = (1,9,1)  e v = (2,1,0) então u + v = (1+2,9+1,1+0) = (3,10,1)
Subtração
Multiplicação
Dado um vetor u e um escalar λ ∈ R, define-se o vetor λ.u, que possui a mesma direção de u e sentido coincidente para λ > 0 e sentido oposto para λ < 0. O módulo do vetor λ .u será igual a | λ |.u . 
Exemplo: u = (1,9,1)  então 2 u = (2. 1, 2.9,2.1) = (2,18,2) .Observe que graficamente o vetor 2u é o dobro do vetor u.
Funções e seus Gráficos
Definição:Uma relação f de A em B é uma função se e somente se:
A) Todo elemento x pertencente a A tem um correspondente y pertencente a B definido pela relação, chamada de imagem de x.
B)A cada x pertencente a A não podem corresponder dois ou mais elementos de B por meio de f.Função Real de uma variável Real, Domínio e Imagem . Se f é uma função com domínio em A e contra domínio em B, dizemos que f é uma função definida em A com valores em B. Se tanto A como B forem subconjunto dos reais dizemos que f é uma função real de variável real.
Exemplo: Seja f (x) = 2x , sendo o domínio A = {1,2,3,...} e         B = R; portanto, f(1) = 2. 1 = 2, f(2) = 2.2 = 4, isto é, a imagem será Im= {2,4,6,...} e  A e B são subconjuntos de R.
 -3
-11
2
 -7
3
As matrizes A, B e C são do tipo m x 3, n x p e 4 x r, respectivamente. Se a matriz transposta de (ABC) é do tipo 5 x 4, então m + n + p + r é
 16
 nada pode ser afirmado
15
18
17
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
 Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
 Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
2
-7
-11
 -3
3
Funções matemáticas representam um tema recorrente no estudo da Ciência ao longo da vida acadêmica de muitos estudantes. Entre as funções mais comuns utilizadas para representar a linguagem dos fenômenos naturais, encontra-se a função f(x)=ax, onde o coeficiente "a" é um número real positivo. Com relação a esta função, NÃO PODEMOS AFIRMAR.
Funções representadas genericamente por f(x)=ax não representam comportamento constante.
 Funções do tipo f(x)=ax possuem o conjuntos reais como domínio a princípio.
O valor do coeficiente "a" determina se a função f(x)=ax é crescente ou decrescente.
Funções do tipo f(x)=ax recebem estão associadas a forma geométrica linear.
 As funções do tipo f(x)=ax possuem máximo e mínimo.
Sejam os vetores u, v e w no R3. Considere ainda o vetor nulo 0. É incorreto afirmar que:
u.v = v.u
 u x v = v x u
u + 0 = u
(u + v) + w = u + (v + w)
 u + v = v + u
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio Rassocia o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
Função logaritma.
 Função quadrática.
Função afim.
Função linear.
Função exponencial.
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1).
-11
2
3
 -8
-7
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
2
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3
 -3
 -5
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2
-3
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se:
  a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1
 b - a = c - d
 2b = 2c = 2d = a + c
a = b = c = d= e - 1
 b = a + 1, c = d= e = 4
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
 A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
 Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
1000 + 50x
50x
 1000 + 0,05x
1000
1000 - 0,05x
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1).
 -8
-7
3
2
-11
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
 1000 + 0,05x
1000 - 0,05x
 1000 + 50x
50x
1000
3
 -3
2
 -7
-11
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
-7
-11
2
 -3
3
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2).
 - 3/4
4/3
- 4/3
- 0,4
3/4
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q,se:
 b - a = c - d
 a = b = c = d= e - 1
  2b = 2c = 2d = a + c
b = a + 1, c = d= e = 4
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1
3
 -5
 -11
-3
2
Funções matemáticas representam um tema recorrente no estudo da Ciência ao longo da vida acadêmica de muitos estudantes. Entre as funções mais comuns utilizadas para representar a linguagem dos fenômenos naturais, encontra-se a função f(x)=ax, onde o coeficiente "a" é um número real positivo. Com relação a esta função, NÃO PODEMOS AFIRMAR.
Funções do tipo f(x)=ax possuem o conjuntos reais como domínio a princípio.
 Funções representadas genericamente por f(x)=ax não representam comportamento constante.
O valor do coeficiente "a" determina se a função f(x)=ax é crescente ou decrescente.
Funções do tipo f(x)=ax recebem estão associadas a forma geométrica linear.
 As funções do tipo f(x)=ax possuem máximo e mínimo.
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio Rassocia o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
 Função quadrática.
Função afim.
Função linear.
Função exponencial.
Função logaritma.
Aula 2: Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros
Programação Estruturada: Programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como objetivo facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.Como se Desenvolve: Esta técnica se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas. Esta decomposição tem como objetivo simplificar o problema para facilitar o entendimento de todos os procedimentos. Com isto, melhorar a confiabilidade e simplificar a manutenção do programa.Existem três tipos de estruturas básicas: Estruturas Sequenciais ,a) Estruturas Sequenciais- Cada ação segue a outra ação sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra. Exemplo: Um segmento “Faça primeiro a Tarefa a e depois realize a Tarefa b” seria representado por uma sequência de dois retângulos, figura 1. A mesma construção em pseudocódigo seria denotada pela expressão das duas tarefas, uma após a outra, figura 2.
Programação Estruturada: Programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como objetivo facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
Como se Desenvolve: Esta técnica se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas. Esta decomposição tem como objetivo simplificar o problema para facilitar o entendimento de todos os procedimentos. Com isto, melhorar a confiabilidade e simplificar a manutenção do programa.
Existem três tipos de estruturas básicas: 
Estruturas Sequenciais Cada ação segue a outra ação sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.Exemplo: Um segmento “Faça primeiro a Tarefa a e depois realize a Tarefa b” seria representado por uma sequência de dois retângulos, figura 1. A mesma construção em pseudocódigo seria denotada pela expressão das duas tarefas, uma após a outra, figura 2.
Estruturas seletivas
Estruturas Repetitivas
Segunda Parte: Teoria dos Erros
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de certo problema. Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. Por este fato, antes da utilização de qualquer método numérico é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada. A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo particular na resolução de um dado problema. 
Definimos como Erro a diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exato.
Origem do erro
Erros no modelo: Um modelo matemático raramente oferece uma representação exata dos fenômenos reais, pois procuramos generalizar, com isto, aceitamos certas condições que simplificam o problema de forma a torná-lo tratável, porém este procedimento nos leva a cometer certo erro na solução final. Este erro é considerado inicial do problema, exteriores ao processo de cálculo.
Erros nos dados: Os dados podem ser medidos experimentalmente, e, portanto, aproximados, pois os meios de medição também não são precisos. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final. Este erro é considerado inicial do problema, exteriores ao processo de cálculo
.
Erro absoluto e erro relativo:
Erro de arredondamento e erro de truncamento
Propagação do Erro
Na maioria das vezes, o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema, mas ao tratarmos muitas operações, estes erros se propagam. Caso o erro se acumule a uma taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado e a sequência de operações é considerada instável. Caso contrário, o erro é limitado e, portanto, a sequência de operações é considerada estável.
Considere o conjunto de instruções: Enquanto A ≥ B faça A = A - B Fim enquanto Se os valores iniciais de A e B são, respectivamente, 12 e 4, determine o número de vezes que a instrução será seguida.
0
1
2
 3
Indefinido
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
Uso de rotinas inadequadas de cálculo
 Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
Uso de dados de tabelas
Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
erro absoluto
erro de arredondamento
 erro de truncamento
erro booleano
 erro relativo
A resolução de equações matemáticas associadas a modelos físico-químicos pode nos conduzir a resultados não compatíveis com a realidade estudada, ou seja, "resultados absurdos". Isto ocorre geralmente porque há diversas fontes de erro. Com relação a este contexto, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
Erro absoluto: é a diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado.
 Erros de dados: representam erros relacionados aos dados coletados através de processos experimentais passíveis de erro.
 Erro de arredondamento: são erros referentes a aproximações dos números para uma forma infinita.
Erros de modelo: representam erros que se referem a simplificação que realizamos quando representamos a realidade através de modelos matemáticos.
Erros de truncatura: são erros decorrentes da interrupção de um processo infinito.
	
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
 Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
 Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadaspela palavra inglesa "until".
As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é:
indeterminado
2,5
 1
 2
3
Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
 Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
 Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
 0,8%
0,2 m2
1,008 m2
0,992
99,8%
A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
Erro derivado
Erro conceitual
Erro fundamental
 Erro absoluto
 Erro relativo
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de:
Erro fundamental
Erro conceitual
 Erro absoluto
Erro derivado
Erro relativo
Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações:
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas;
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo.
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo.
É correto afirmar que:
apenas II é verdadeira
todas são falsas
 todas são verdadeiras
 apenas I é verdadeira
apenas III é verdadeira
	
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
1,008 m2
0,2%
 0,992
 0,2 m2
99,8%
A resolução de equações matemáticas associadas a modelos físico-químicos pode nos conduzir a resultados não compatíveis com a realidade estudada, ou seja, "resultados absurdos". Isto ocorre geralmente porque há diversas fontes de erro. Com relação a este contexto, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
 Erro de arredondamento: são erros referentes a aproximações dos números para uma forma infinita.
Erros de modelo: representam erros que se referem a simplificação que realizamos quando representamos a realidade através de modelos matemáticos.
Erros de dados: representam erros relacionados aos dados coletados através de processos experimentais passíveis de erro.
Erros de truncatura: são erros decorrentes da interrupção de um processo infinito.
Erro absoluto: é a diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado.
	
Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
Qualquer valor entre 2 e 10
Indefinido
 20
 5
0
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
 erro de truncamento
erro de arredondamento
erro absoluto
 erro booleano
erro relativo
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
 0,2 m2
99,8%
1,008 m2
0,992
 0,8%
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
0,026 E 0,026
 0,026 E 0,023
0,013 E 0,013
0,023 E 0,026
0,023 E 0,023
A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
Erro absoluto
 Erro relativo
Erro derivado
Erro conceitual
Erro fundamental
Considere o conjunto de instruções: Enquanto A ≥ B faça A = A - B Fim enquanto Se os valores iniciais de A e B são, respectivamente, 12 e 4, determine o número de vezes que a instrução será seguida.
2
Indefinido
 3
0
 1
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
0,992
 0,2 m2
 1,008 m2
0,2%
99,8%
Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
 20
Indefinido
Qualquer valor entre 2 e 10
5
0
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
 De truncamento
De modelo
Absoluto
Relativo
Percentual
A resolução de equações matemáticas associadas a modelos físico-químicos pode nos conduzir a resultados não compatíveis com a realidade estudada, ou seja, "resultados absurdos". Isto ocorre geralmente porque há diversas fontes de erro. Com relação a este contexto, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
Erros de dados: representam erros relacionados aos dados coletados através de processos experimentais passíveis de erro.
 Erro de arredondamento: são erros referentes a aproximações dos números para uma forma infinita.
 Erros de modelo: representam erros que se referem a simplificação que realizamos quando representamos a realidade através de modelos matemáticos.
Erro absoluto: é a diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado.
Erros de truncatura: são erros decorrentes da interrupção de um processo infinito.
	
Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este contexto, NÃO podemos afirmar:
 A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas contenham rotinas repetitivas.
 A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas.
A programação estruturada consegue através da decomposição de um problema melhorar a confiabilidade do mesmo.
A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados.
A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos.
Aula 3
Nesta aula, vamos aplicar os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia e veremos como implementá-los. Resolveremos também alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.Nesta aula apresentaremos métodos numéricos para resolução de equações da forma f(x) = 0, onde f(x) é uma função de uma variável real. Resolver a equação f(x) = 0 consiste em determinar a solução  (ou soluções) real ou complexa c tal que f( c ) = 0 [achar o zero da equação ou achar a(s) raíz(es) da equação]. Métodos iterativos são desenvolvidos para determinar aproximadamente essa solução real  c. Existem métodos iterativos específicos para determinar a solução c quando este é um número complexo.
MÉTODOS DE INTERVALO
Método da bisseção
Exemplo 1
Observe a figura 1 que  f(- 4) < 0, ou seja, quando x vale – 4 o valorde y é negativo.
 E que f (- 2) > 0. Assim, existe um zero da função neste intervalo.
Exemplo 2
Método da falsa posição
Exemplo 1
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor:
0,5
 1,5
1
-0,5
0
Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
(-0,5; 0,0)
 (0,5; 0,9)
(0,0; 0,2)
(0,2; 0,5)
 (0,9; 1,2)
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
 [-4,5]
[0,1]
 [1,10]
[-8,1]
[-4,1]
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
Ponto fixo
Gauss Jacobi
 Gauss Jordan
 Bisseção
Newton Raphson
Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
 0,625
  0,715
0,750
0,500
0,687
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1
3 e 4
 4 e 5
5 e 6
2 e 3
 1 e 2
A função f(x)=2x-3x=0 possui dois zeros: um no intervalo [0,1] e outro no intervalo [3,4]. Obtenha os zeros dessa função, respectivamente, em ambos intervalos usando o método da bisseção com ε=10-1 com 4 decimais.
 0,8750 e 3,4375
0,3125 e 3,6250
0,4375 e 3,6250
 0,4375 e 3,3125
0,8750 e 3,3125
Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de investigação das raízes.
 [4,5]
[4,6]
 [2,3]
[3,4]
[5,6]
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
[0,3]
 [0,3/2]
[1,3]
 [1,2]
[3/2,3]
Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de:
Regra de Simpson.
 Método do Trapézio.
Extrapolação de Richardson.
Método de Romberg.
 Método da Bisseção.
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor:
 1,5
1
-0,5
 0,5
0
Com relação ao método da falsa posição para determinação de raízes reais é correto afirmar, EXCETO, que:
Pode não ter convergência
 A raiz determinada é sempre aproximada
A precisão depende do número de iterações
É um método iterativo
 Necessita de um intervalo inicial para o desenvolvimento
O método da falsa posição está sendo aplicado para encontrar a raiz aproximada da equação f(x) =0 no intervalo [a,b]. A raiz aproximada após a primeira iteração é:
 O encontro da função f(x) com o eixo x
A média aritmética entre os valores a e b
O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo y
O encontro da função f(x) com o eixo y
 O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1
5 e 6
3 e 4
 4 e 5
2 e 3
 1 e 2
Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
(1,0; 2,0)
 (-2,0; -1,5)
(-1,0; 0,0)
 (-1,5; - 1,0)
(0,0; 1,0)
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 -7x -1
4 e 5
 1 e 2
0 e 1
3 e 4
 2 e 3
Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
(0,0; 1,0)
 (-1,5; - 1,0)
(-2,0; -1,5)
(1,0; 2,0)
 (-1,0; 0,0)
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
 [3/2,3]
[1,2]
 [0,3/2]
[0,3]
[1,3]
Com relação ao método da falsa posição para determinação de raízes reais é correto afirmar, EXCETO, que:
 A precisão depende do número de iterações
É um método iterativo
Pode não ter convergência
Necessita de um intervalo inicial para o desenvolvimento
 A raiz determinada é sempre aproximada
O método da falsa posição está sendo aplicado para encontrar a raiz aproximada da equação f(x) =0 no intervalo [a,b]. A raiz aproximada após a primeira iteração é:
O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo y
O encontro da função f(x) com o eixo x
 O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x
A média aritmética entre os valores a e b
 O encontro da função f(x) com o eixo y
Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
 É a raiz real da função f(x)
É o valor de f(x) quando x = 0
É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
Nada pode ser afirmado
 É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
(-0,5; 0,0)
 (0,5; 0,9)
(0,2; 0,5)
(0,0; 0,2)
(0,9; 1,2)
Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
 0,500
0,750
0,687
 0,625
 0,715
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Falsa Posição para cálculo da raiz, e os valores iniciais para pesquisa -1 e 2. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no valor:
0,5
 1,5
1
-0,5
0
Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
(-0,5; 0,0)
 (0,5; 0,9)
(0,0; 0,2)
(0,2; 0,5)
 (0,9; 1,2)
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
 [-4,5]
[0,1]
 [1,10]
[-8,1]
[-4,1]
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
Ponto fixo
Gauss Jacobi
 Gauss Jordan
 Bisseção
Newton Raphson
Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
 0,6250,715
0,750
0,500
0,687
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 - 4x +1
3 e 4
 4 e 5
5 e 6
2 e 3
 1 e 2
A função f(x)=2x-3x=0 possui dois zeros: um no intervalo [0,1] e outro no intervalo [3,4]. Obtenha os zeros dessa função, respectivamente, em ambos intervalos usando o método da bisseção com ε=10-1 com 4 decimais.
 0,8750 e 3,4375
0,3125 e 3,6250
0,4375 e 3,6250
 0,4375 e 3,3125
0,8750 e 3,3125
Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de investigação das raízes.
 [4,5]
[4,6]
 [2,3]
[3,4]
[5,6]
Aula 4: Solução de equações Transcendentes e Polinomiais - Raízes de Equações (Continuação)
Método de Aproximação 
Quando desejamos encontrar a convergência de uma função, analisamos uma sucessão de termos. Estes convergem para um valor exato; porém, devemos entender que este método também é um resultado aproximado e que é calculado com um número finito de operações elementares. O objetivo é encontrar sucessões que se aproximem do(s) valor(es) exato(s) com um número mínimo de operações elementares.
Abaixo apresentamos dois métodos que trabalham com a ideia de aproximação:
O Método do Ponto Fixo é largamente utilizado para a obtenção de raízes de equações polinomiais, utilizando uma função equivalente que, alimentada com um valor inicial x0, poderá convergir para um valor representante da raiz procurada. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=√(6-x) e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
Há convergência para o valor -3.
Há convergência para o valor 1,5
 Há convergência para o valor 2.
 Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
Há convergência para o valor 1,7.
Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
Há convergência para o valor - 3475,46.
Há convergência para o valor -59,00.
Há convergência para o valor 2.
 Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
 Há convergência para o valor -3.
Em nossa vivência matemática, lidamos com diversas funções, incluindo aquelas denominadas de transcendentais (seno, cosseno, exponencial, logarítma etc) e as funções polinomiais, que seguem o padrão f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+....+an, onde os coeficientes designados pela letra "a" são, no âmbito de nosso estudo, números reais. Para resolver equações expressas com estes tipos de funções, podemos utilizar métodos numéricos entre os quais o Método do Ponto Fixo ou Método Iterativo Linear. Considerando as características deste método, só NÃO podemos citar:
O método do ponto fixo pressupõe o conhecimento do intervalo de ocorrência das raízes.
 O método do ponto fixo utiliza uma função equivalente a função original, pois em alguns casos esta última não facilita a investigação das raízes.
Métodos de investigação do intervalo de existência de raízes utilizados em outros métodos, como por exemplo o do método da bisseção, podem ser utilizados no método do ponto fixo.
 O método do ponto fixo é utilizado para funções, contínuas ou não, que apresentam alguma raiz em um intervalo numérico. [a,b].
As funções equivalentes utilizadas no método do ponto fixo utilizam um valor inicial x0 a partir do qual inicia-se uma sequência iterativa de investigação das raízes.
Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x))
1,2
 1,0
 0,4
0,8
0,6
Em Ciência, é comum nos depararmos com equações em relação as quais devemos determinar raízes por métodos não analíticos, mas sim por métodos numéricos. Entre os métodos famosos, encontra-se o denominado Método de Newton-Raphson, que se baseia em obter sucessivas aproximações da raiz procurada a partir da expressão xn+1=xn- f(x) / f'(x), onde f '(x) é a primeira derivada da função. Considerando estas informações, determine após duas interações o valor da raiz da equação x2+x-6=0 partindo-se do valor inicial x0=1,5. Assinale a opção CORRETA.
Não há raiz.
 Valor da raiz: 2,00.
 Valor da raiz: 5,00.
Valor da raiz: 2,50.
	
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
Método da bisseção
 Método de Newton-Raphson
Método do ponto fixo
 Método das secantes
Método de Pégasus
O Método do Ponto Fixo inicia-se reescrevendo a função f(x) como: f(x)=φ(x)-x=0, assim para calcular a raiz da equação x2-3x+ex=2 empregando o MPF, determine qual função abaixo NÃO corresponde a uma função de iteração.
  φ(x)=2-x2-ex-3
φ(x)=2-exx-3
 φ(x)=-x2+3x+2
φ(x)=2+3x-ex
φ(x)=ln(2-x2+3x)
Considere a função polinomial f(x) = 2x5 + 4x + 3. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 0 a próxima iteração (x1) será:
 0,75
 -0,75
1,75
1,25
-1,50
A raiz de uma função f(x) deve ser calculada empregando o Método das Secantes, empregando como dois pontos iniciais x0e x1.Com base na fórmula de cálculo das iterações seguintes, tem-se que x0e x1 devem respeitar a seguinte propriedade:
 f(x0) e f(x1) devem ser diferentes
  f(x0) e f(x1) devem ter sinais diferentes
f(x0) e f(x1) devem ser positivos
f(x0) e f(x1) devem ser iguais.
f(x0) e f(x1) devem ser negativos
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 Gauss Jordan
 Ponto fixo
Gauss Jacobi
Bisseção 
 Newton Raphson 
	
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
 A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 -8x -1
1 e 2
0,5 e 1
 2 e 3
0 e 0,5
 3,5 e 4
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
 Método de Newton-Raphson
Método da bisseção
Método do ponto fixo
Método de Pégasus
Método das secantes
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor:
 2,4
0,8
3,2
1,6
	
De acordo com o método do pontofixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da equação f(x) = x2 - 3x - 5 = 0
-5/(x+3)
x
-5/(x-3)
5/(x+3)
 5/(x-3)
Em Ciência, é comum nos depararmos com equações em relação as quais devemos determinar raízes por métodos não analíticos, mas sim por métodos numéricos. Entre os métodos famosos, encontra-se o denominado Método de Newton-Raphson, que se baseia em obter sucessivas aproximações da raiz procurada a partir da expressão xn+1=xn- f(x) / f'(x), onde f '(x) é a primeira derivada da função. Considerando estas informações, determine após duas interações o valor da raiz da equação x2+x-6=0 partindo-se do valor inicial x0=1,5. Assinale a opção CORRETA.
 Valor da raiz: 3,00.
Não há raiz.
 Valor da raiz: 2,00.
Valor da raiz: 5,00.
Valor da raiz: 2,50.
A raiz de uma função f(x) deve ser calculada empregando o Método das Secantes, empregando como dois pontos iniciais x0e x1.Com base na fórmula de cálculo das iterações seguintes, tem-se que x0e x1 devem respeitar a seguinte propriedade:
 f(x0) e f(x1) devem ser diferentes
 f(x0) e f(x1) devem ter sinais diferentes
f(x0) e f(x1) devem ser positivos
f(x0) e f(x1) devem ser iguais.
f(x0) e f(x1) devem ser negativos
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 Gauss Jordan
 Ponto fixo
Gauss Jacobi
Bisseção 
 Newton Raphson 
	
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
 A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, indique a opção correta de pontos extremos do intervalo para determinação da raiz da função f(x) = x3 -8x -1
1 e 2
0,5 e 1
 2 e 3
0 e 0,5
 3,5 e 4
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
 Método de Newton-Raphson
Método da bisseção
Método do ponto fixo
Método de Pégasus
Método das secantes
A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor:
 2,4
0,8
3,2
1,6
0
De acordo com o método do ponto fixo, indique uma função de iteração g(x) adequada para resolução da equação f(x) = x2 - 3x - 5 = 0
-5/(x+3)
x
-5/(x-3)
5/(x+3)
 5/(x-3)
	
Em Ciência, é comum nos depararmos com equações em relação as quais devemos determinar raízes por métodos não analíticos, mas sim por métodos numéricos. Entre os métodos famosos, encontra-se o denominado Método de Newton-Raphson, que se baseia em obter sucessivas aproximações da raiz procurada a partir da expressão xn+1=xn- f(x) / f'(x), onde f '(x) é a primeira derivada da função. Considerando estas informações, determine após duas interações o valor da raiz da equação x2+x-6=0 partindo-se do valor inicial x0=1,5. Assinale a opção CORRETA.
 Valor da raiz: 3,00.
Não há raiz.
 Valor da raiz: 2,00.
Valor da raiz: 5,00.
Valor da raiz: 2,50.
AULA 5 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
Introdução
Temos por objetivo aprender métodos para achar a solução de Sistema de Equações Lineares, os quais aplicaremos no desenvolvimento de outros Métodos Numéricos que ainda vamos aprender no decorrer deste curso. Tais métodos estão presentes na resolução de problemas em Engenharia e veremos como implementa-los.
Sistemas de Equações Lineares
Nesta aula, veremos a resolução de Sistemas de Equações Lineares, utilizando métodos diretos e métodos iterativos. Tais métodos são importantes para resoluções de alguns métodos numéricos que veremos na próxima aula.São aqueles que fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento.Dentre eles, estudaremos: Método de Gauss-Jordan e Método da Decomposição LU
Método de Gauss-Jordan
Lembre-se que deveremos resolver o exemplo em 2 passos:
1º passo: Transformar o sistema linear na forma de matriz completa
Observação: Podemos escrever o sistema como AX = B. Onde A é a matriz dos coeficientes, X a matriz das incógnitas, e B a matriz dos termos independentes.
 2º passo: Transformaremos o sistema em um sistema cuja matriz dos coeficientes seja a matriz identidade, tomando em cada passo como pivô os elementos da diagonal da matriz A. Para isso, trabalharemos com a matriz completa.
Aceitaremos o primeiro pivô, no exemplo, como o primeiro elemento da primeira linha (primeiro elemento da diagonal principal, a11) não nulo. Os elementos abaixo do pivô deverão ser anulados, utilizando operações elementares com a linha que contém o pivô e as respectivas linhas abaixo do pivô.
 Observação 1: Quando passarmos para a segunda linha, o pivô será o elemento não nulo a22, os elementos a serem anulados deverão ser os abaixo (a32) e os acima (a12) do pivô, e assim sucessivamente. 
Observação 2: Caso o pivô seja nulo, devemos fazer troca de linha, de forma que o elemento pivô seja diferente de zero. 
Exemplo: Nosso primeiro pivô é o elemento a11= 1. Devemos zerar o elemento a21, utilizando operações elementares com as linhas 1 e 2; modificando, assim, toda linha 2. E depois zerar o elemento a31, utilizando operações elementares com as linhas 1 e 3; modificando, assim, toda linha 3.
Neste exemplo, multiplique a linha 1 por -2 e some com a linha 2. O resultado será uma nova linha, cujo primeiro elemento obrigatoriamente é nulo (L2 -2 L1 + L2). Esta nova linha será a nova linha 2. Analogamente, podemos anular o elemento a31 (L3 -3 L1 + L3).
O novo sistema ficará:
Para facilitar as contas, vamos transformar o pivô a22 em 1, dividindo toda a linha 2 por 2.Ficando assim:
O procedimento se repete com o próximo pivô, ou seja, o elemento da diagonal principal que está na próxima linha (2). Pivô: a22. Anularemos os elementos a12 com a operação L1 -2 L2 + L1 e o elemento a32 com a operação L3 -3 L2 + L3, da mesma forma como foi feito anteriormente.
Novamente, para facilitar as contas, vamos transformar o pivô a33 em 1, multiplicar toda a linha 3 por -2 (ou dividir por -1/2).
Anularemos o elemento a13 realizando a operação L2 7/2 L3 + L2 e o elemento a23 com a operação L1 -11/2 L3 + L1, que se encontram acima do pivô a33, utilizando os mesmos procedimentos. Assim, encontrando a matriz abaixo.
Então, podemos ver que esta matriz determina que x = 1, y = 2 e z = 3.
Cálculo Numérico
Método da Decomposição LU
Novamente, trabalharemos com a matriz escrita na forma Ax = B.O processo de decomposição LU consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) em um produto de dois ou mais fatores, e, em seguida, resolver uma sequência de sistemas lineares que levará a solução do sistema original. Então, teremos A = LU; onde L é uma matriz triangular inferior de ordem m x n com diagonal principal contendo apenas 1’s, e U é uma matriz de ordem m x n que é da forma escalonada reduzida de A.
Método da Decomposição LU ou Fatoração Lu
Exemplo: A matriz A ficará definida como:
Observação: A matriz L não possui inversa, isto é, a matriz L é inversível. O sistema AX = B poderá ser rescrito no formato L(UX) = B. 
Denominaremos UX = y. Logo, podemos determinar X resolvendo o par de equações: Ly = B e UX = y.Exemplo: Supondo 
Usaremos o processo de Gauss para triangularizar a matriz A. Primeiro, observe se será necessário o pivotemento de alguma linha.
1º Passo: Primeiro Pivôa11= 3. Então, faremos L1 L1, L2 L2 – m21 L1, L3 L3 – m31 L1; onde:
2º Passo: Segundo Pivô a22= 1/3. Então, faremos L1 L1, L2 L2, L3 L3 – m32 L2; onde:
3º Passo: Definimos, com isso, a matriz U:
4º Passo: A Matriz L será a matriz triangular inferior com diagonal com 1’s e definida pelos multiplicadores m21, m31 e m32. Como podemos observar no exemplo:
5º Passo: Resolveremos o par de equações: Ly = B e UX = y.Primeiro, encontraremos y:
Em seguida, igualdade de matrizes, o sistema pode ser resolvido encontrando y1=1, y2 = 5/3, y3 = 0
6º Passo: Encontraremos os valores de x:
Em seguida, igualdade de matrizes, encontraremos os valores de x procurados inicialmente: x1= -3, x2 = 5 e x3 = 0.
Métodos iterativos
 
Método de Gauss-Jacob
Exemplo: Supondo
O método consiste em dado x0 (aproximação inicial) obter x1 , ...xk , através da relação recursiva: x k+1 = Cxk + G pode ser escrito na forma:
Exemplo: Seja
1º Passo: Observe que x corresponde na definicao do método a , y a e z a , ou seja, podemos reescrever o sistema como:
2º Passo: Portanto, podemos reescrever da forma:
3º Passo: Podemos, a partir do 2º passo, definir a matriz
e a matriz
4º Passo: Iniciamos o processo iterativo. Assim, temos para k = 0:
5º Passo: Como realizamos a primeira iteração, faremos o teste de parada para verificar se a solução encontrada alcançou a precisão desejada. O teste de parada será realizado a cada iteração.
Teste de Parada:
Observação: Podemos usar como teste de parada um número máximo de iterações.
Exemplo:
O procedimento para quando alcançamos a precisão desejada ou o máximo de iteração desejada. Para chegarmos a = 0.05 deveremos fazer mais duas iterações. Você deverá fazer como exercício para verificar a seguinte resposta:
Observação: O método de Gauss-Jacobi tem a convergência garantida, se o critério das linhas for satisfeito.
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é semelhante ao método de Jacobi, ou seja, transforma o sistema linear AX= B em X=CX+G por separação da diagonal.
Exemplo: Supondo
Da mesma forma que o método anterior, dado x0 (aproximação inicial) obter x1 , ...xk , através da relação recursiva: x k+1 = Cxk + G
Podemos escrever na forma:
2º Passo: Portanto podemos reescrever:
Teste de Parada:
Comparando os métodos numéricos
Ao realizarmos a modelagem matemática de um problema analisado pela pesquisa operacional, acabamos originando um sistema de equações lineares que, na maioria das vezes, devido a sua grande extensão exige bastante nos processos de resolução. Para nos auxiliar nesta árdua tarefa, existem os métodos numéricos, nos quais a representação matricial do sistema de equações é essencial.
Considerando o sistema a seguir, encontre a opção que o represente através de uma matriz aumentada ou completa.
 x +3z=2
5y+4z=8
4x+2y=5
 	1	0	3	2
0	5	4	8
4	2	0	5
	1	2	0	3
4	5	8	0
1	2	0	3
	1	3	0	2
0	4	5	8
4	0	2	5
A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
 Método de Gauss-Jordan.
 Método da falsa-posição.
Método de Newton-Raphson.
Método da bisseção.
Método do ponto fixo.
Métodos Iterativos para a resolução de um sistema linear representam uma excelente opção matemática para os casos em que o sistema é constituído de muitas variáveis, como os Métodos de Método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Com relação a estes métodos, NÃO podemos afirmar:
Com relação a convergência do Método de Gauss-Seidel, podemos citar o critério de Sassenfeld, que garante a convergência tomando-se como referência o "parâmetro beta" inferior a 1.
Se a sequência de soluções xk obtida estiver suficientemente próxima de x(k-1), sequência anterior, segundo um critério numérico de precisão, paramos o processo.
 Adotando-se uma precisão "e" como critério de parada dos cálculos, xk representa uma solução quando o módulo de xk-x(k-1) for superior a precisão.
Considerando uma precisão "e", tem-se uma solução xk quando o módulo de xk-x(k-1) for inferior a precisão.
 Ambos os métodos mencionados se baseiam na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G.
O método de Gauss-Jacobi é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. Como todo método iterativo, existe a possibilidade ou não de convergência. Um dos critérios adotados para garantir a convergência é denominado:
 Critério das linhas
Critério das frações
Critério das colunas
 Critério das diagonais
Critério dos zeros
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
Método de Gauss-Seidel.
 Método de Newton-Raphson.
 Método de Gauss-Jordan.
Método de Gauss-Jacobi.
Método de Decomposição LU.
Na resolução de sistemas de equações lineares é possívela a utilização de métodos diretos, como o de Gauss-Jordan. Com relação aos métodos diretos é correto afirmar que:
 Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir.
 Fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento.
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, por conta das iterações que ocorrem
Fornecem a solução exata do sistema linear a partir das iterações consecutivas.
Não são adequados para a resolução de sistemas de equações lineares.
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
 Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matrizidentidade
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos:
 o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
 os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema.
o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
não há diferença em relação às respostas encontradas.
no método direto o número de iterações é um fator limitante
	
O Método de Gauss-Jacobi representa uma poderosa ferramenta que utilizamos para resolver sistemas lineares, baseado na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G. Neste Método, comparamos as soluções obtidas em duas iterações sucessivas e verificamos se as mesmas são inferiores a uma diferença considerada como critério de parada. Considerando o exposto, um sistema de equações lineares genérico com quatro variáveis x1, x2, x3 e x4 e um critério de parada representado por 0,050, determine qual a menor interação que fornece uma solução aceitável referente a variável x1:
Quinta interação: |x1(5) - x1(4)| = 0,010
 Terceira interação: |x1(3) - x1(2)| = 0,030
Quarta interação: |x1(4) - x1(3)|= 0,020
Primeira interação: |x1(1) - x1(0)| = 0,25
Segunda interação: |x1(2) - x1(1)| = 0,15
Métodos Iterativos para a resolução de um sistema linear representam uma excelente opção matemática para os casos em que o sistema é constituído de muitas variáveis, como os Métodos de Método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Com relação a estes métodos, NÃO podemos afirmar:
Se a sequência de soluções xk obtida estiver suficientemente próxima de x(k-1), sequência anterior, segundo um critério numérico de precisão, paramos o processo.
Ambos os métodos mencionados se baseiam na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G.
 Com relação a convergência do Método de Gauss-Seidel, podemos citar o critério de Sassenfeld, que garante a convergência tomando-se como referência o "parâmetro beta" inferior a 1.
 Adotando-se uma precisão "e" como critério de parada dos cálculos, xk representa uma solução quando o módulo de xk-x(k-1) for superior a precisão.
Considerando uma precisão "e", tem-se uma solução xk quando o módulo de xk-x(k-1) for inferior a precisão.
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
Método de Decomposição LU.
 Método de Gauss-Jordan.
 Método de Newton-Raphson.
Método de Gauss-Seidel.
Método de Gauss-Jacobi.
Na resolução de sistemas de equações lineares é possívela a utilização de métodos diretos, como o de Gauss-Jordan. Com relação aos métodos diretos é correto afirmar que:
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, por conta das iterações que ocorrem
 Não são adequados para a resolução de sistemas de equações lineares.
 Fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento.
Fornecem a solução exata do sistema linear a partir das iterações consecutivas.
Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir.
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobreos sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
 Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
 Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos:
 o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
 o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
no método direto o número de iterações é um fator limitante.
não há diferença em relação às respostas encontradas.
os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema.
AULA 6 - APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
Introdução
Nesta aula aplicaremos os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia e aprenderemos como implementá-los. Resolveremos também alguns exemplos clássicos encontrados na literatura que envolvem interpolação polinomial e ajuste de funções.
A interpolação polinomial consiste em substituir a função original f(x) por outra função g(x), com o objetivo de realizar ou facilitar certas operações matemáticas.  Tal procedimento é realizado, por exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são complicadas ou impossíveis de serem realizadas.
Exemplo: Um experimento tem como resultado uma tabela, onde são definidos a temperatura e o calor específico de um material específico. Suponha que, em algum momento, precisa-se calcular o calor específico em certa temperatura que não se encontra na tabela ou mesmo saber qual a temperatura para certo calor específico. Para estes casos, necessitamos fazer a interpolação polinomial. 
Definição: Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) ), faremos a aproximação de f(x) por um polinômio de grau menor ou igual a n. Tal que: F(xn) = Pn (xn), onde k=0,1,2, ...,n Observe que possuímos n+1 pontos, pois partimos de x0 . Através de demonstração matemática garante-se que tal polinômio Pn(x) que se deseja construir existe e é único, desde que possua grau menor ou igual a n, tal que Pn (xk) = f(xk), k = 0,1,2,...,n, desde que xk ≠ xj, j ≠ k. 
Modos de se obter Pn (x) 
Vimos que é possível, e de uma maneira única, definir o polinômio Pn (x). Porém, existem várias maneiras de encontrá-lo. Dentre estas veremos o método de Lagrange e o método de Newton.
Métodos de Lagrange
Exemplo:
Suponha a interpolação linear em dois pontos distintos x0 e x1, com o par ordenado (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)). O polinômio que iremos definir é de grau n = 1 e Pn (x) é função linear. Portanto, usando a forma de Lagrange ficamos com:
Na disciplina de álgebra linear aprendemos a escrever a equação da reta através do determinante de uma matriz, ou seja, o determinante de:
Exemplo: Vamos supor que possuímos dois pares ordenados (-1, 4) e (0,1) Então, a interpolação linear, usando a forma de Lagrange, ficaria:
Método de Newton
Exemplo:
Ajuste de Funções
Casos Discreto
Exemplo: Seja a tabela abaixo resultado de um experimento, montaremos o diagrama de dispersão e definiremos a função que mais se aproxima da curva:
Caso Contínuo
Caso Não Linear
Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica-los, encontrando, respectivamente, as funções de aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que:
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem negativos.
 f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados.
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem negativos.
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem positivos.
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem positivos.
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M1 gerada é igual a:
-x2 + 4x
 -2x2 + 3x
-3x2 + 2x
 -x2 + 2x
x2 + 2x
Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:
x + 2
 x - 3
2x + 5
3x + 7
 3x - 1
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
Um polinômio do quarto grau
Um polinômio do quinto grau
Um polinômio do sexto grau
 Um polinômio do terceiro grau
Um polinômio do décimo grau
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variávelx) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
 As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
 Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
Em Cálculo Numérico, interpolação polinomial consiste em substituir a função original f(x) por outra função g(x), com o objetivo de tornar possível ou facilitar certas operações matemáticas. Este procedimento é realizado, por exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são complicadas ou impossíveis de serem realizadas. Com relação a interpolação linear, NÃO podemos afirmar:
Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton.
O polinômio de grau "n" interpolado em "n+1" pontos é único.
 Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton-Raphson.
Para interpolarmos um polinômio de "n", devemos ter "n+1" pontos.
 Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Lagrange.
Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio?
X20 + 7X - 9
 X20 + 2X + 9
X21 + 3X + 4
 X19 + 5X + 9
X30 + 8X + 9
Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
Função cúbica.
Função logarítmica.
 Função linear.
Função exponencial.
 Função quadrática.
Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica-los, encontrando, respectivamente, as funções de aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que:
 f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados.
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem negativos.
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem positivos.
f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem positivos.
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M1 gerada é igual a:
-x2 + 4x
 -2x2 + 3x
-3x2 + 2x
 -x2 + 2x
x2 + 2x
Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:
x + 2
 x - 3
2x + 5
3x + 7
 3x - 1
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
Um polinômio do quarto grau
Um polinômio do quinto grau
Um polinômio do sexto grau
 Um polinômio do terceiro grau
Um polinômio do décimo grau
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
 As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
 Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
Em Cálculo Numérico, interpolação polinomial consiste em substituir a função original f(x) por outra função g(x), com o objetivo de tornar possível ou facilitar certas operações matemáticas. Este procedimento é realizado, por exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado, mesmo quando as operações matemáticas exigidas são complicadas ou impossíveis de serem realizadas. Com relação a interpolação linear, NÃO podemos afirmar:
Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton.
O polinômio de grau "n" interpolado em "n+1" pontos é único.
 Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Newton-Raphson.
Para interpolarmos um polinômio de "n", devemos ter "n+1" pontos.
 Para interpolarmos um polinômio de grau "n", podemos utilizar o método de Lagrange.
	
Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
Função logarítmica.
 Função linear.
Função exponencial.
 Função quadrática.
AULA 7 - INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Introdução
Temos por objetivo calcular o valor aproximado de uma integral definida para sua primitiva. Para isso, temos como princípio substituir tal função por um polinômio que a aproxime razoavelmente, e faremos isso através da interpolação. Esses métodos estão presentes na resolução de problemas em Engenharia.
Métodos de Interpolação:Newton-Cotes
Regra dos Retângulos
Exemplo:
Regra dos Trapézios
Exemplo:
Regra de Simpson
Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
0,250
 0,247
 0,242
0,245
0,237
Os métodos de integração numérica em regra não são exatos. Suponhamos o método de Simpson (trapézios) em sua apresentação mais simples mostrado na figura a seguir.
  
 Se considerarmos a integral definida  , o valor encontrado para F(x) utilizando a regra de Simpson será equivalente a:
  Média aritmética entre as áreas sob a curva e a do trapézio
 Área do trapézio
Diferença entre a área do trapézio e a área sob a curva
Soma entre a área do trapézio e a área sob a curva
Área sob a curva
Integrais definidas de uma função podem ser interpretadascomo a área sob a curva limitada a um determinado intervalo, porém a execução do cálculo desta área nem sempre é simples através de métodos analíticos, necessitando-se de método numéricos, como a Regra do Retângulo. Considerando o exposto, determine a área sob a função f(x)=x2+1 no intervalo [0; 1,2], considerando este intervalo dividido em três partes e o resultado com três casas decimais.
Integral = 1,700
 Integral = 2,000
Integral = 1,000
 Integral = 1,760
Integral = 3,400
O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos criados em Cálculo Numérico, originando dentre outros a Regra de Simpson, que, se considerada a função f(x) e a área sob a curva no intervalo [a,b], tem-se que esta última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o exposto, obtenha a integral da função f(x)=3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA.
 73,3
 20,0
146,6
293,2
220
Calcule, pelo método de 1/3 de Simpson, o trabalho realizado por um gás sendo aquecido segundo a tabela:
Sabe-se que W=∫vivfPd(v) 
141,3
 159,6
 157,0
152,5
105,0
Empregue a regra dos Retângulos para calcular a integral de f(x) = x2, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
0,48125
 0,385
0,125
 0,328125
0,333
Em diversas situações associadas a manipulação de funções matemáticas, não conseguimos ou não é prática a obtenção de soluções analíticas de integrais definidas, o que nos conduz a métodos numéricos. Com base na Regra do Retângulo e considerando a função f(x)=x2, obtenha a sua integração no intervalo [0, 1], considerando-o dividido em 2 partes. Expresse o resultado com uma casa decimal e escolha opção CORRETA.
 Integral = 0,31
 Integral = 0,15
Integral = 1,00
Integral = 1,50
Integral = 0,63
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
3
 0,3
0,5
Indefinido
30
Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
0,250
 0,247
 0,242
0,245
0,237
Integrais definidas de uma função podem ser interpretadas como a área sob a curva limitada a um determinado intervalo, porém a execução do cálculo desta área nem sempre é simples através de métodos analíticos, necessitando-se de método numéricos, como a Regra do Retângulo. Considerando o exposto, determine a área sob a função f(x)=x2+1 no intervalo [0; 1,2], considerando este intervalo dividido em três partes e o resultado com três casas decimais.
Integral = 1,700
 Integral = 2,000
Integral = 1,000
 Integral = 1,760
Integral = 3,400
	
O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos criados em Cálculo Numérico, originando dentre outros a Regra de Simpson, que, se considerada a função f(x) e a área sob a curva no intervalo [a,b], tem-se que esta última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o exposto, obtenha a integral da função f(x)=3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a opção CORRETA.
 73,3
 20,0
146,6
293,2
220
Empregue a regra dos Retângulos para calcular a integral de f(x) = x2, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
0,48125
 0,385
0,125
 0,328125
0,333
Em diversas situações associadas a manipulação de funções matemáticas, não conseguimos ou não é prática a obtenção de soluções analíticas de integrais definidas, o que nos conduz a métodos numéricos. Com base na Regra do Retângulo e considerando a função f(x)=x2, obtenha a sua integração no intervalo [0, 1], considerando-o dividido em 2 partes. Expresse o resultado com uma casa decimal e escolha opção CORRETA.
 Integral = 0,31
 Integral = 0,15
Integral = 1,00
Integral = 1,50
Integral = 0,63
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
 0,3
0,5
Indefinido
30
AULA 8 -INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Temos por objetivo calcular o valor aproximado, com maior precisão, de uma integral definida para sua primitiva. Para isso, recorreremos ao método de extrapolação, presente na resolução de problemas em Engenharia.Realizaremos também a comparação entre os métodos aprendidos e o método de extrapolação.
Método de Romberg
1º Passo:
2º Passo:
Política de segurança operacional
Exemplo:
Conclusão:
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
 1/2
0
 1/3
1/5
1/4
Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos fornecem boas aproximações, especialmente se for utilizado o Método de Romberg. Entre as opções oferecidas a seguir, determine aquela que apresenta expressão relacionada a este método.
 R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)]
xk=Cx(k-1)+G
[f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)]
xn+1=xn- f(x) / f'(x)
 Ax=B, com A, x e B representando matrizes
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
 Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
 Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
Utiliza a extrapolação de Richardson.
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
0,382
 0,351
1,053
1,567
0,725
Sobre o método de Romberg utilizado na integração numérica são feitas as seguintes afirmações:
 I - É um método de alta precisão
II - Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
III - só pode ser utilizado para integrais polinomiais
 É correto afirmar que:
apenas I e III são corretas
 apenas I e II são corretas
todas são corretas
apenas II e III são corretas
todas são erradas
Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
Método do Trapézio.
 Método da Bisseção.
Regra de Simpson.
 Método de Romberg.
Uma técnica importante de integração