Um sinal periódico x(t) tem um período fundamental T0 = 8 s. Os coeficientes não nulos da série de Fourier para x(t) são a1 = 2 e a3 = 4. Expresse ...

Para expressar o sinal periódico x(t) nas três formas da série de Fourier, precisamos dos coeficientes a0, an e bn. Como a1 e a3 são os únicos coeficientes não nulos, podemos assumir que a0, a2, a4, ... são iguais a zero. A primeira forma da série de Fourier é dada por: x(t) = a0/2 + somatório de n=1 até infinito de [an*cos(n*w0*t) + bn*sin(n*w0*t)] Onde w0 = 2*pi/T0 é a frequência fundamental. Como a0 = 0, podemos calcular an e bn usando as fórmulas: an = (2/T0) * integral de 0 até T0 de [x(t)*cos(n*w0*t) dt] bn = (2/T0) * integral de 0 até T0 de [x(t)*sin(n*w0*t) dt] Para n = 1, temos: an = (2/T0) * integral de 0 até T0 de [x(t)*cos(w0*t) dt] = (2/8) * integral de 0 até 8 de [x(t)*cos((2*pi/8)*t) dt] = (1/2) * integral de 0 até 8 de [x(t)*cos((pi/4)*t) dt] Como a2, a4, ... são iguais a zero, temos: bn = (2/T0) * integral de 0 até T0 de [x(t)*sin(n*w0*t) dt] = (2/8) * integral de 0 até 8 de [x(t)*sin(3*(2*pi/8)*t) dt] = (1/2) * integral de 0 até 8 de [x(t)*sin((3*pi/4)*t) dt] Como a1 = 2 e a3 = 4, temos: a1 = 2 = (1/2) * integral de 0 até 8 de [x(t)*cos((pi/4)*t) dt] a3 = 4 = (1/2) * integral de 0 até 8 de [x(t)*sin((3*pi/4)*t) dt] Podemos resolver essas equações para obter: integral de 0 até 8 de [x(t)*cos((pi/4)*t) dt] = 4 integral de 0 até 8 de [x(t)*sin((3*pi/4)*t) dt] = 8 Agora podemos escrever x(t) nas três formas da série de Fourier: Forma trigonométrica: x(t) = a0/2 + a1*cos(w0*t) + a3*sin(3*w0*t) = 0 + 2*cos((2*pi/8)*t) + 4*sin(3*(2*pi/8)*t) = 2*cos((pi/4)*t) + 4*sin((3*pi/4)*t) Forma exponencial: x(t) = somatório de n=-infinito até infinito de [cn*exp(j*n*w0*t)] Onde cn = (an - j*bn)/2 Para n = 1 e n = -3, temos: c1 = (a1 - j*b1)/2 = (2 - j*8)/2 = -3 - j*4 c-3 = (a-3 - j*b-3)/2 = (-a3 - j*b3)/2 = (-4 - j*0)/2 = -2 Portanto, x(t) pode ser escrito como: x(t) = -3*exp(j*(2*pi/8)*t) - 2*exp(-j*(3*pi/4)*t) Forma compacta: x(t) = somatório de n=-infinito até infinito de [cn*exp(j*n*w0*t)] Onde cn = (1/T0) * integral de 0 até T0 de [x(t)*exp(-j*n*w0*t) dt] Para n = 1 e n = -3, temos: c1 = (1/8) * integral de 0 até 8 de [x(t)*exp(-j*(2*pi/8)*t) dt] = (1/4) * integral de 0 até 8 de [x(t)*exp(-j*(pi/4)*t) dt] = (1/4) * [2 - j*4] = 1/2 - j c-3 = (1/8) * integral de 0 até 8 de [x(t)*exp(j*(3*pi/4)*t) dt] = (1/4) * integral de 0 até 8 de [x(t)*exp(j*(pi/4)*t) dt] = (1/4) * [4 + j*0] = 1 Portanto, x(t) pode ser escrito como: x(t) = (1/2 - j)*exp(j*(2*pi/8)*t) + 1*exp(-j*(3*pi/4)*t)