Assinale a alternativa que contenha a declividade da reta tangente à curva, resultante da interseção de: f(x,y) = x²+y²com plano Y=2, no ponto P=(2...

Primeiramente, vamos encontrar a interseção da superfície f(x,y) = x²+y² com o plano Y=2. Para isso, basta substituir Y por 2 na equação da superfície: f(x,y) = x²+y² = z Y = 2 Substituindo Y por 2 na equação da superfície, temos: x² + y² = z = 2² = 4 Portanto, a interseção da superfície com o plano Y=2 é uma circunferência de raio 2, centrada na origem do sistema de coordenadas. Agora, precisamos encontrar a reta tangente à curva no ponto P=(2,2,8). Para isso, vamos calcular o gradiente da superfície f(x,y) = x²+y² no ponto P: grad(f) = (df/dx, df/dy) df/dx = 2x df/dy = 2y Portanto, o gradiente da superfície no ponto P é: grad(f) = (4, 4) Isso significa que a reta tangente à curva no ponto P tem uma direção dada pelo vetor (4, 4, 1), que é perpendicular à superfície no ponto P. Agora, precisamos encontrar a declividade dessa reta tangente. Para isso, basta calcular a projeção do vetor (4, 4, 1) no plano XY, que é paralelo ao plano Y=2: projXY(4, 4, 1) = (4, 4, 0) A declividade da reta tangente é dada pelo coeficiente angular dessa projeção, que é: m = Δy/Δx = 4/4 = 1 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 2.