Considere um agente com preferências u(x1;x2) = lnx1 + 0,5lnx2 Sejam os preços P1 = R$10,00, e P2 = R$5,00: Suponha que a renda do agente seja R...

(a) Para encontrar a quantidade consumida de cada bem, podemos utilizar a equação de orçamento: Renda = P1x1 + P2x2 Substituindo os valores, temos: 300 = 10x1 + 5x2 Isolando x2, temos: x2 = (300 - 10x1)/5 Agora, podemos maximizar a utilidade sujeita a essa restrição de orçamento. (b) Para encontrar a utilidade máxima, podemos utilizar as condições de primeira ordem: MU1/P1 = MU2/P2 Onde MU1 e MU2 são as utilidades marginais de cada bem. Derivando a função de utilidade em relação a x1 e x2, temos: MU1 = 1/x1 MU2 = 0,5/x2 Substituindo na equação de primeira ordem, temos: 1/(10) = 0,5/(5 - 2x1) Resolvendo para x1, temos: x1 = 10/3 Substituindo na equação de orçamento, temos: x2 = 40/3 Portanto, o agente irá consumir aproximadamente 3,33 unidades do bem 1 e 8 unidades do bem 2, alcançando uma utilidade máxima de aproximadamente 4,19. (c) Se os preços e a renda forem duplicados, a nova equação de orçamento será: Renda = 2P1x1 + 2P2x2 Substituindo os valores, temos: 600 = 20x1 + 10x2 Isolando x2, temos: x2 = (600 - 20x1)/10 Utilizando as condições de primeira ordem novamente, temos: 1/(20) = 0,5/(10 - 2x1) Resolvendo para x1, temos: x1 = 20/3 Substituindo na equação de orçamento, temos: x2 = 80/3 Portanto, o agente irá consumir aproximadamente 6,67 unidades do bem 1 e 26,67 unidades do bem 2.