Determine a integral $\int_(C)(xdx+ydy+zdz)$ com C definida pela equação paramétrica $igamma (t) = (2t^2,t*3,t)$ com SO Aleq t Aleq15. Considere a ...

Vamos calcular a integral de linha $\int_C (xdx+ydy+zdz)$, onde $C$ é a curva definida por $\gamma(t) = (2t^2, 3t, t)$, com $0 \leq t \leq 15$. Para isso, vamos calcular as componentes $x$, $y$ e $z$ da curva $\gamma(t)$: $x = 2t^2$ $y = 3t$ $z = t$ Agora, vamos calcular as diferenciais $dx$, $dy$ e $dz$: $dx = 4t dt$ $dy = 3 dt$ $dz = dt$ Substituindo na integral de linha, temos: $\int_C (xdx+ydy+zdz) = \int_0^{15} (2t^2 \cdot 4t dt + 3t \cdot 3 dt + t \cdot dt)$ $\int_C (xdx+ydy+zdz) = \int_0^{15} (8t^3 + 9t) dt$ $\int_C (xdx+ydy+zdz) = \left[2t^4 + \frac{9}{2}t^2\right]_0^{15}$ $\int_C (xdx+ydy+zdz) = 50625$ Portanto, a integral de linha $\int_C (xdx+ydy+zdz)$ ao longo da curva $C$ é igual a $50625$.