Resolva as seguintes equações diferenciais: (a) xdx+ ydy = 0 (b) y4dx− xdy = 0 (c) xdx− y3dy = 0 (d) (t+ 1)dt = 1/y2 dy (e) dx/dt = x2t2 (f) y′ = c...

(a) xdx + ydy = 0: Separando as variáveis, temos: x dx = -y dy Integrando ambos os lados, temos: x²/2 + y²/2 = C, onde C é a constante de integração. (b) y⁴dx - xdy = 0: Separando as variáveis, temos: y⁴dy = xdx Integrando ambos os lados, temos: y⁵/5 = x²/2 + C, onde C é a constante de integração. (c) xdx - y³dy = 0: Separando as variáveis, temos: x dx = y³ dy Integrando ambos os lados, temos: x²/2 = y⁴/4 + C, onde C é a constante de integração. (d) (t+1)dt = 1/y² dy: Integrando ambos os lados, temos: (t+1) = -1/y + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = -1/(t+1-C) (e) dx/dt = x²t²: Separando as variáveis, temos: dx/x² = t² dt Integrando ambos os lados, temos: -1/x = t³/3 + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para x, temos: x = -1/(t³/3 + C) (f) y' = cos²(x)cos²(2y): Infelizmente, não é possível resolver essa equação diferencial sem mais informações. (g) dy/dt = 3 + 5y: Separando as variáveis, temos: dy/(3+5y) = dt Integrando ambos os lados, temos: (1/5)ln|3+5y| = t + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = (1/5)(e^(5t+C) - 3)/5 (h) dy/dx = y²: Separando as variáveis, temos: dy/y² = dx Integrando ambos os lados, temos: -1/y = x + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = -1/(x+C) (i) dx - 1/(y²-6y+13)dy = 0: Separando as variáveis, temos: dx = 1/(y²-6y+13)dy Integrando ambos os lados, temos: x = (1/2)ln|y²-6y+13| + C, onde C é a constante de integração. (j) y' = xe^(x/2y): Infelizmente, não é possível resolver essa equação diferencial sem mais informações. (k) y' = y/x²: Separando as variáveis, temos: y'/y = 1/x² Integrando ambos os lados, temos: ln|y| = -1/x + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = Ce^(-1/x) (l) 4/(y-3)dx - x/y dy = 0: Separando as variáveis, temos: 4dx/(y-3) = xdy/y Integrando ambos os lados, temos: 4ln|y-3| = ln|x| + ln|y| + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = (x/(4+C))(y-3) (m) y' = x²/y(1+x³): Separando as variáveis, temos: y'/(y(1+x³)) = x² dx Integrando ambos os lados, temos: ln|y| - (1/2)ln|1+x³| = (1/3)x³ + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = Ce^(x³/3)/(1+x³)^(1/2) (n) y' + y²sen(x) = 0: Infelizmente, não é possível resolver essa equação diferencial sem mais informações. (o) (y³+y)dx = (-y²+1)xdy: Separando as variáveis, temos: (y³+y)dx = (-y²+1)xdy Integrando ambos os lados, temos: (1/2)y² + (1/2)ln|y³+y| = (-1/3)x³ + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = (-1±sqrt(1+4e^(3x³-3C)))/(2e^(3x³)) (p) dx/dt = x/t: Separando as variáveis, temos: dx/x = dt/t Integrando ambos os lados, temos: ln|x| = ln|t| + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para x, temos: x = Ct (q) dy/dx = (x-e^(-x))/(y+e^y): Infelizmente, não é possível resolver essa equação diferencial sem mais informações. (r) (1+e^(x²))dy = 2xye^(x²)dx: Separando as variáveis, temos: dy/(2xye^(x²)) = dx/(1+e^(x²)) Integrando ambos os lados, temos: ln|y| = ln|1+e^(x²)| + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = Ce^(1+e^(x²)) (s) xy' = sqrt(1-y²): Separando as variáveis, temos: y'/(sqrt(1-y²)) = 1/x Integrando ambos os lados, temos: arcsin(y) = ln|x| + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = sin(C + ln|x|) (t) dy/dx = x²/(1+y²): Separando as variáveis, temos: (1+y²)dy = x²dx Integrando ambos os lados, temos: y + (1/2)arctan(y) = (1/3)x³ + C, onde C é a constante de integração. Resolvendo para y, temos: y = tan(C + (1/2)arctan(y))