Quais dos seguintes subconjuntos W são subespaços vetoriais de Mn×n a) W1 = conjunto das matrizes nilpotentes; b) W2 = conjunto das matrizes idempo...

Para determinar quais dos subconjuntos são subespaços vetoriais de Mn×n, precisamos analisar cada um deles: a) W1 = conjunto das matrizes nilpotentes; b) W2 = conjunto das matrizes idempotentes; c) W3 = conjunto das matrizes com determinante nulo. Para ser um subespaço vetorial, um conjunto deve satisfazer as seguintes condições: 1. Deve conter o vetor nulo. 2. Deve ser fechado sob a adição. 3. Deve ser fechado sob a multiplicação por escalar. Analisando cada subconjunto: a) W1 = conjunto das matrizes nilpotentes: - Contém a matriz nula. - É fechado sob a adição. - É fechado sob a multiplicação por escalar. Portanto, W1 é um subespaço vetorial de Mn×n. b) W2 = conjunto das matrizes idempotentes: - Não contém a matriz nula (a menos que n = 1). - Não é fechado sob a adição. - Não é fechado sob a multiplicação por escalar. Portanto, W2 não é um subespaço vetorial de Mn×n. c) W3 = conjunto das matrizes com determinante nulo: - Contém a matriz nula. - É fechado sob a adição. - É fechado sob a multiplicação por escalar. Portanto, W3 é um subespaço vetorial de Mn×n. Portanto, os subconjuntos que são subespaços vetoriais de Mn×n são W1 e W3.