Q2. Seja V um espaço vetorial reais. Dados W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V Mostre que: a. A interseção W = W1 n W2 é um subespaço vetorial d...

Para mostrar que a interseção W = W1 ∩ W2 é um subespaço vetorial de V, precisamos verificar duas condições: 1. Fechamento sob adição: Seja u e v elementos de W. Isso significa que u e v pertencem tanto a W1 quanto a W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais, eles são fechados sob adição. Portanto, u + v também pertence a W1 e W2, o que implica que u + v pertence a W. Assim, a interseção W é fechada sob adição. 2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja k um escalar e u um elemento de W. Isso significa que u pertence tanto a W1 quanto a W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais, eles são fechados sob multiplicação por escalar. Portanto, k * u também pertence a W1 e W2, o que implica que k * u pertence a W. Assim, a interseção W é fechada sob multiplicação por escalar. Portanto, podemos concluir que a interseção W = W1 ∩ W2 é um subespaço vetorial de V. Para mostrar que a soma W = W1 + W2 é um subespaço vetorial de V, também precisamos verificar duas condições: 1. Fechamento sob adição: Seja u e v elementos de W1 e W2, respectivamente. Isso significa que u pertence a W1 e v pertence a W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais, eles são fechados sob adição. Portanto, u + v pertence a W1 + W2, o que implica que u + v pertence a W. Assim, a soma W é fechada sob adição. 2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Seja k um escalar e u um elemento de W. Isso significa que u pode ser escrito como u = x + y, onde x pertence a W1 e y pertence a W2. Como W1 e W2 são subespaços vetoriais, eles são fechados sob multiplicação por escalar. Portanto, k * u = k * (x + y) = k * x + k * y pertence a W1 + W2, o que implica que k * u pertence a W. Assim, a soma W é fechada sob multiplicação por escalar. Portanto, podemos concluir que a soma W = W1 + W2 é um subespaço vetorial de V.