Para responder à sua pergunta, precisamos analisar cada uma das afirmativas: I. Considerando \( C \), temos que \( \int_C \nabla f \cdot dr = f(b) - f(a) \). Esta afirmativa é verdadeira, pois é uma aplicação direta do teorema fundamental das integrais de linha, que relaciona a integral de linha do gradiente de uma função ao valor da função nos extremos da curva. II. Considerando \( C \), segmento de reta de \( a \) a \( b \), temos que \( \int_C \nabla f \cdot dr = f(b) - f(a) \). Esta afirmativa também é verdadeira, pois o teorema se aplica a qualquer curva suave, incluindo segmentos de reta. III. Considerando \( C \), segmento da parábola da origem ao ponto \( (a, b) \), temos que \( \int_C \nabla f \cdot dr = f(b) - f(a) \). Esta afirmativa é verdadeira, pois o teorema fundamental das integrais de linha se aplica a qualquer curva suave, incluindo curvas parametrizadas como uma parábola. IV. Considerando \( C \), \( \nabla f \), temos que \( \int_C \nabla f \cdot dr = f(b) - f(a) \). Esta afirmativa é verdadeira, pois é uma reiteração do teorema fundamental das integrais de linha. Dessa forma, todas as afirmativas I, II, III e IV estão corretas. Portanto, a alternativa correta é que todas as afirmativas estão corretas. Se houver uma opção que indique isso, essa será a resposta correta. Se não houver, você deve criar uma nova pergunta.