Sejam W1 eW2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial V . A união W =W1∪W2={w∈V /w∈W1 ouw∈W2} é um subespaço de V . Tal afirmação é verdadeira? S...

A afirmação não é verdadeira em geral. Um contraexemplo simples é considerar dois subespaços vetoriais de dimensões diferentes em um espaço vetorial V. Por exemplo, seja V o espaço vetorial R³, W1 o subespaço gerado pelo vetor (1,0,0) e W2 o subespaço gerado pelo vetor (0,1,0). A união W = W1 ∪ W2 é o plano xy, que não é um subespaço vetorial de R³. No entanto, se W1 e W2 são subespaços complementares de V, ou seja, se V = W1 ⊕ W2, então a afirmação é verdadeira. Para provar isso, basta mostrar que W é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Sejam w1, w2 ∈ W. Como V = W1 ⊕ W2, existem únicos v1 ∈ W1 e v2 ∈ W2 tais que w1 = v1 + v2 e w2 = u1 + u2. Então, w1 + w2 = (v1 + u1) + (v2 + u2) ∈ W1 + W2 = W, pois W1 e W2 são subespaços vetoriais. Além disso, para qualquer escalar α, temos αw1 = αv1 + αv2 ∈ W1 e αw2 = αu1 + αu2 ∈ W2, pois W1 e W2 são subespaços vetoriais. Portanto, W é um subespaço vetorial de V.