Sejam W1 eW2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial V . A união W =W1∪W2={w∈V /w∈W1 ouw∈W2} é um subespaço de V .
Tal afirmação é verdadeira? Se não é sempre verdade, exemplifique e determine condições
para que seja verdadeira. Caso determine tal condição, apresente uma demonstração
formal.

Question

Sejam W1 eW2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial V . A união W =W1∪W2={w∈V /w∈W1 ouw∈W2} é um subespaço de V .
Tal afirmação é verdadeira? S...

Ed · Answer

A afirmação de que a união $ W = W_1 \cup W_2 $ é um subespaço vetorial de $ V $ não é verdadeira em geral. Para que a união de dois subespaços $ W_1 $ e $ W_2 $ seja um subespaço, é necessário que um dos subespaços esteja contido no outro, ou seja, $ W_1 \subseteq W_2 $ ou $ W_2 \subseteq W_1 $.

**Exemplo:**
Considere $ V = \mathbb{R}^2 $, $ W_1 = \{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\} $ (eixo x) e $ W_2 = \{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\} $ (eixo y). A união $ W = W_1 \cup W_2 $ não é um subespaço, pois não contém a combinação linear $ (1, 1) $, que poderia ser formada a partir de elementos de $ W_1 $ e $ W_2 $.

**Condição para que a união seja um subespaço:**
A união $ W_1 \cup W_2 $ é um subespaço de $ V $ se e somente se $ W_1 \subseteq W_2 $ ou $ W_2 \subseteq W_1 $.

**Demonstração:**
1. Se $ W_1 \subseteq W_2 $, então qualquer vetor em $ W_1 $ também está em $ W_2 $, e a união $ W_1 \cup W_2 = W_2 $, que é um subespaço.
2. Se $ W_2 \subseteq W_1 $, a argumentação é análoga.

Portanto, a união de dois subespaços é um subespaço se e somente se um está contido no outro.

Ed · Answer

A afirmação não é verdadeira em geral. Um contraexemplo simples é considerar dois subespaços vetoriais de dimensões diferentes em um espaço vetorial V. Por exemplo, seja V o espaço vetorial R³, W1 o subespaço gerado pelo vetor (1,0,0) e W2 o subespaço gerado pelo vetor (0,1,0). A união W = W1 ∪ W2 é o plano xy, que não é um subespaço vetorial de R³.

No entanto, se W1 e W2 são subespaços complementares de V, ou seja, se V = W1 ⊕ W2, então a afirmação é verdadeira. Para provar isso, basta mostrar que W é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Sejam w1, w2 ∈ W. Como V = W1 ⊕ W2, existem únicos v1 ∈ W1 e v2 ∈ W2 tais que w1 = v1 + v2 e w2 = u1 + u2. Então, w1 + w2 = (v1 + u1) + (v2 + u2) ∈ W1 + W2 = W, pois W1 e W2 são subespaços vetoriais. Além disso, para qualquer escalar α, temos αw1 = αv1 + αv2 ∈ W1 e αw2 = αu1 + αu2 ∈ W2, pois W1 e W2 são subespaços vetoriais. Portanto, W é um subespaço vetorial de V.

Álgebra Linear

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