Dadas as funções de várias variáveis a seguir: z = x²y , x = t² e y=t³ Calcule a derivada parcial da função z em relação à variável t e assinale a...

Para calcular a derivada parcial de z em relação a t, precisamos utilizar a regra da cadeia. Começamos encontrando as derivadas parciais de x e y em relação a t: dx/dt = 2t dy/dt = 3t² Agora, podemos aplicar a regra da cadeia: dz/dt = ∂z/∂x * ∂x/∂t + ∂z/∂y * ∂y/∂t Substituindo as derivadas parciais encontradas e a função z, temos: dz/dt = 2xy * 2t + x² * 3t² Substituindo x e y em função de t, temos: dz/dt = 2(t²)(t³) * 2t + (t²)² * 3(t³)² Simplificando, temos: dz/dt = 4t⁶ + 3t⁸ Portanto, a alternativa correta é a letra E) z' = 7.t⁶.