lim x² - xy 2 (x,y)→(0,0) √x - √y Alternativas a) -3 b) 3 c) 1 d) 0

Para resolver essa questão, podemos utilizar a regra de L'Hôpital. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y) em relação a x e y: fx(x,y) = lim (x² - xy) / (2√x(√x + √y)) x,y→0 Aplicando a regra de L'Hôpital uma vez, temos: fx(x,y) = lim (2x - y) / (4(√x + √y) + x(1/2(√x + √y)^-1/2(1/2x^-1/2) + 1/2y^-1/2)) x,y→0 fx(x,y) = lim (2x - y) / (4√x + 4√y + x(√x + √y) / 2√x√y) x,y→0 fx(x,y) = lim (2 - y/x) / (4/√x + 4√y/x + (√x + √y) / 2√xy) x,y→0 fx(0,0) = 2/4 = 1/2 Agora, vamos calcular fy(x,y): fy(x,y) = lim (-x) / (2√y(√x + √y)) x,y→0 Aplicando a regra de L'Hôpital uma vez, temos: fy(x,y) = lim (-1/2(√x + √y)^-1/2(1/2x^-1/2) - 1/2y^-1/2) / (2√y + (√x + √y) / 2√xy) x,y→0 fy(x,y) = lim (-1/2(√x + √y)^-1/2(1/2x^-1/2) - 1/2y^-1/2) / (2/√y + (√x + √y) / 2√xy) x,y→0 fy(x,y) = lim (-1/2(√x + √y)^-1/2(1/2x^-1/2) - 1/2y^-1/2) / (1/√y + (√x + √y) / 2xy) x,y→0 fy(x,y) = lim (-1/2(√x + √y)^-1/2(1/2x^-1/2) - 1/2y^-1/2) / (1/√y + (√x + √y) / 2xy) x,y→0 fy(0,0) = 0 Agora, podemos calcular o limite original: lim x² - xy 2 (x,y)→(0,0) √x - √y Substituindo as derivadas parciais que encontramos, temos: lim x² - xy 2 (x,y)→(0,0) √x - √y = lim (x² - xy) / (2√x(√x + √y)) - 0 x,y→0 lim x² - xy 2 (x,y)→(0,0) √x - √y = 1/2 Portanto, a alternativa correta é a letra c) 1.