O Teorema de Wilson é um teorema da matemática que estabelece uma condição necessária e suficiente para um número ser primo. Determine o resto da d...

O Teorema de Wilson estabelece que um número inteiro positivo p é primo se e somente se (p-1)! ≡ -1 (mod p). Para encontrar o resto da divisão de 65! por 71, podemos usar o Teorema de Wilson da seguinte maneira: 71 é um número primo, então (71-1)! ≡ -1 (mod 71) pelo Teorema de Wilson. Isso significa que 70! ≡ -1 (mod 71). Podemos reescrever 65! como (65!) * 1 * 2 * 3 * ... * 5 * 6 * ... * 70 * 71 * 72 * ... * 100. Observe que 1 * 2 * 3 * ... * 5 * 6 * ... * 70 é igual a 70!, que é congruente a -1 (mod 71). Além disso, 71 * 72 * ... * 100 é congruente a 1 * 2 * ... * 29 (mod 71), que é congruente a (70!)^2 (mod 71). Portanto, 65! é congruente a (-1) * (70!) * (70!) ≡ -1 (mod 71). Isso significa que o resto da divisão de 65! por 71 é 70.