Seja a matriz de transformação do operador linear T: IR3 R³ dada por [1 4 1] β [T] = 4 1 1. Assim, sabemos que existe uma matriz ortogonal Q e uma ...

Para encontrar a matriz ortogonal Q e a matriz diagonal D, precisamos encontrar os autovetores e autovalores da matriz de transformação T. Começamos encontrando os autovalores: | [1-λ 4 1] | = (1-λ)(1-λ)-4.1 = λ² - 2λ - 3 = (λ-3)(λ+1) Logo, os autovalores são λ1 = 3 e λ2 = -1. Agora, encontramos os autovetores correspondentes: Para λ1 = 3: | [-2 4 1] | |x1| |0| | [4 -2 1] | |x2| = |0| | [1 4 -2] | |x3| |0| Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor v1 = (2/3, -1/3, 2/3). Para λ2 = -1: | [2 4 1] | |x1| |0| | [4 2 1] | |x2| = |0| | [1 4 2] | |x3| |0| Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor v2 = (-1/3, -2/3, 2/3). Normalizando os autovetores, temos: v1 = (2/3√6, -1/3√6, 2/3√6) v2 = (-1/3√6, -2/3√6, 2/3√6) A matriz Q é formada pelos autovetores normalizados como colunas: Q = [v1 v2] = [2/3√6 -1/3√6; -1/3√6 -2/3√6; 2/3√6 2/3√6] A matriz diagonal D é formada pelos autovalores na diagonal: D = [λ1 0; 0 λ2] = [3 0; 0 -1] Assim, a alternativa correta é a letra B) Q = [2/3√6 -1/3√6 2/3√6; -1/3√6 -2/3√6 2/3√6] e D = [3 0; 0 -1].