Considere a equação diferencial apresentada em A: $$ \frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{d x}{d t}=4 $$ Essa equação diferencial está sujeita a condições ini...

A equação diferencial apresentada em A é: $$ \frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{d x}{d t}=4 $$ Para resolvê-la, podemos utilizar o método da equação característica. A equação característica é dada por: $$ r^2+r=0 $$ Resolvendo a equação característica, encontramos as raízes: $$ r_1=0 \quad \text{e} \quad r_2=-1 $$ Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por: $$ x(t)=c_1+c_2e^{-t}+4t $$ Como as condições iniciais são nulas em \(x\) em todas as suas derivadas, temos que: $$ x(0)=0 \quad \text{e} \quad \frac{dx}{dt}(0)=0 $$ Substituindo as condições iniciais na solução geral, temos: $$ x(0)=c_1+c_2(1)=0 \Rightarrow c_1=-c_2 $$ $$ \frac{dx}{dt}(0)=c_2(-1)+4=0 \Rightarrow c_2=4 $$ Portanto, a solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: $$ x(t)=-4e^{-t}+4t $$ A alternativa correta é a letra D.