Determine a ∈ R para que o plano tangente ao gráfico de g no ponto (1,1,g (1,1)) seja paralelo ao vetor (4,2,a).

Para determinar o valor de \( a \in \mathbb{R} \) para que o plano tangente ao gráfico de \( g \) no ponto \( (1,1,g(1,1)) \) seja paralelo ao vetor \( (4,2,a) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a função \( g \): Precisamos da expressão de \( g(x,y) \) para calcular o plano tangente. Se não for fornecida, não podemos prosseguir. 2. Calcular as derivadas parciais: Precisamos calcular as derivadas parciais de \( g \) em relação a \( x \) e \( y \) no ponto \( (1,1) \): - \( g_x(1,1) = \frac{\partial g}{\partial x}(1,1) \) - \( g_y(1,1) = \frac{\partial g}{\partial y}(1,1) \) 3. Equação do plano tangente: A equação do plano tangente em \( (1,1,g(1,1)) \) é dada por: \[ z - g(1,1) = g_x(1,1)(x - 1) + g_y(1,1)(y - 1) \] 4. Normal do plano: O vetor normal ao plano tangente é dado por \( (g_x(1,1), g_y(1,1), -1) \). 5. Condição de paralelismo: Para que o plano tangente seja paralelo ao vetor \( (4,2,a) \), os vetores normais devem ser proporcionais. Portanto, devemos ter: \[ (g_x(1,1), g_y(1,1), -1) = k(4, 2, a) \] para algum escalar \( k \). 6. Sistema de equações: Isso nos dá um sistema de equações: - \( g_x(1,1) = 4k \) - \( g_y(1,1) = 2k \) - \( -1 = ak \) 7. Resolver para \( a \): A partir da terceira equação, temos \( k = -\frac{1}{a} \). Substituindo \( k \) nas duas primeiras equações, podemos encontrar \( a \). Se você fornecer a função \( g(x,y) \), posso ajudar a calcular as derivadas e encontrar o valor de \( a \).