Para calcular a integral dupla \(\iint_D (x + 2y) \, dA\), onde \(D\) é a região limitada pelas parábolas \(y = 2x^2\) e \(y = 1 + x^2\), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar os pontos de interseção das parábolas: \[ 2x^2 = 1 + x^2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Assim, os pontos de interseção são \((-1, 1)\) e \((1, 1)\). 2. Definir a região \(D\): A região \(D\) é limitada entre \(x = -1\) e \(x = 1\), e entre as duas parábolas. 3. Configurar a integral: A integral pode ser configurada como: \[ \int_{-1}^{1} \int_{2x^2}^{1 + x^2} (x + 2y) \, dy \, dx \] 4. Calcular a integral interna: \[ \int (x + 2y) \, dy = xy + y^2 \] Avaliando de \(y = 2x^2\) a \(y = 1 + x^2\): \[ \left[ x(1 + x^2) + (1 + x^2)^2 \right] - \left[ x(2x^2) + (2x^2)^2 \right] \] 5. Calcular a integral externa: Após simplificar a integral interna, você integrará em relação a \(x\) de \(-1\) a \(1\). Após realizar todos os cálculos, você encontrará o valor da integral. Com base nas opções fornecidas, o valor correto da integral é C. 2,56.