Determine o valor de β para o qual existe uma reta do espaço tridimensional contendo simultaneamente os pontos A = (3, 2, 5), B = (5, β, 10) e C = ...

Para que a reta que passa pelos pontos A, B e C exista, é necessário que esses pontos sejam colineares, ou seja, que estejam todos na mesma reta. Podemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B e verificar se o ponto C pertence a essa reta. Se pertencer, então os três pontos são colineares e a reta existe. A equação da reta que passa pelos pontos A e B é dada por: x - 3 / 5 - 3 = y - 2 / β - 2 = z - 5 / 10 - 5 Simplificando, temos: (x - 3) / 2 = (y - 2) / (β - 2) = (z - 5) / 5 Agora, podemos usar o ponto C para encontrar o valor de β. Substituindo as coordenadas do ponto C na equação da reta, temos: (-1 - 3) / 2 = (8 - 2) / (β - 2) = (-5 - 5) / 5 -4 / 2 = 6 / (β - 2) = -10 / 5 -2 = 6 / (β - 2) = -2 Resolvendo a segunda equação, temos: 6 / (β - 2) = -2 6 = -2(β - 2) 6 = -2β + 4 2β = -2 β = -1 Portanto, o valor de β para que exista uma reta que passe pelos pontos A, B e C é -1.