(2) Determine o valor de β para o qual existe uma reta do espaço tridimensional contendo simultaneamente os pontos A = (−3, 2, 4), B = (β, 5, 3) e ...

Para determinar o valor de β para o qual existe uma reta do espaço tridimensional contendo simultaneamente os pontos A = (−3, 2, 4), B = (β, 5, 3) e C = (2,−4, 6), podemos utilizar a propriedade de que três pontos não colineares determinam uma reta no espaço tridimensional. Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta AB. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos B e A: AB = B - A = (β, 5, 3) - (−3, 2, 4) = (β + 3, 5 - 2, 3 - 4) = (β + 3, 3, -1) Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta AC. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos C e A: AC = C - A = (2,−4, 6) - (−3, 2, 4) = (2 + 3, -4 - 2, 6 - 4) = (5, -6, 2) Para que a reta contenha simultaneamente os pontos A, B e C, os vetores diretores AB e AC devem ser colineares, ou seja, proporcionais. Portanto, podemos escrever a seguinte igualdade vetorial: (β + 3, 3, -1) = k(5, -6, 2) Igualando as coordenadas correspondentes, temos: β + 3 = 5k 3 = -6k -1 = 2k Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar o valor de β. Dividindo a primeira equação por 5, temos: β/5 + 3/5 = k Substituindo o valor de k nas outras equações, temos: 3 = -6(3/5) = -18/5 -1 = 2(3/5) = 6/5 Portanto, não existe um valor de β que satisfaça simultaneamente as três equações. Isso significa que não existe uma reta que contenha os pontos A, B e C no espaço tridimensional.