Determine os valores de \( a \) e \( b \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 + bx^2 + 4 \) tem um ponto de inflexão em \( x = 2 \). \( a = -\fr...

Para determinar os valores de \( a \) e \( b \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 + bx^2 + 4 \) tem um ponto de inflexão em \( x = 2 \), podemos usar a segunda derivada. A segunda derivada da função é \( f''(x) = 6ax + 2b \). Para que haja um ponto de inflexão em \( x = 2 \), a segunda derivada deve mudar de sinal nesse ponto. Substituindo \( x = 2 \), temos \( 12a + 2b = 0 \). Dado que \( a = -\frac{1}{6} \) e \( b = 1 \), podemos substituir esses valores na equação para verificar se a condição é atendida: \( 12(-\frac{1}{6}) + 2(1) = -2 + 2 = 0 \) Portanto, os valores de \( a \) e \( b \) que satisfazem a condição para um ponto de inflexão em \( x = 2 \) são \( a = -\frac{1}{6} \) e \( b = 1 \).