Determine os valores de \( a \) e \( b \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 + bx^2 - x \) tem um ponto de inflexão em \( x = 2 \). Resposta: \...

Para determinar os valores de \( a \) e \( b \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 + bx^2 - x \) tem um ponto de inflexão em \( x = 2 \), podemos usar o teste da segunda derivada. A segunda derivada da função é \( f''(x) = 6ax + 2b \). Para que haja um ponto de inflexão em \( x = 2 \), a segunda derivada deve mudar de sinal nesse ponto. Substituindo \( x = 2 \) na segunda derivada, temos \( 12a + 2b \). Isso deve ser igual a zero para que haja um ponto de inflexão. Portanto, temos a equação \( 12a + 2b = 0 \). Além disso, para encontrar o valor de \( a \), podemos usar a condição de que a terceira derivada da função deve ser diferente de zero para que haja um ponto de inflexão. A terceira derivada de \( f(x) \) é \( f'''(x) = 6a \). Substituindo \( x = 2 \), obtemos \( 6a \neq 0 \), o que implica que \( a \neq 0 \). Portanto, para um ponto de inflexão em \( x = 2 \), temos \( a \neq 0 \) e \( 12a + 2b = 0 \). Resolvendo essas equações, obtemos \( a = \frac{1}{6} \) e \( b = -\frac{1}{3} \).